Resolva a integral por frações parciais (fatores lineares repetidos):
integral 1(x+5)^2(x-1) d x

Passo 1

Aqui temos a integral de uma função racional com um fator linear repetido. O conteúdo é frações parciais e vamos precisar decompor
1(x+5)^2(x-1)
em termos de parcela simples em x+5 e x-1.

Passo 2

Proponho a decomposição
1(x+5)^2(x-1)=Ax+5+B(x+5)^2+Cx-1
para determinar os coeficientes A, B e C.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x+5)^2(x-1) e obtemos
1=A(x+5)(x-1)+B(x-1)+C(x+5)^2
Expandindo e juntando termos em potências de x resulta em
1=(A+C)x^2+(4A+B+10C)x+(-5A-B+25C)
Isso gera o sistema
A+C=0, 4A+B+10C=0, -5A-B+25C=1

Passo 4

Resolvendo o sistema obtemos
C=136, A=-136, B=-16

Passo 5

Substituindo esses valores na decomposição e integrando termo a termo, temos:
integral1(x+5)^2(x-1)dx =integrall(-tfrac1361x+5-tfrac161(x+5)^2+tfrac1361x-1r)dx
Calculando cada integral:
integral -tfrac136dxx+5=-tfrac136ln|x+5|,
integral -tfrac16(x+5)^-2dx=-tfrac16cdotl(-tfrac1x+5r)=16(x+5),
integral tfrac136dxx-1=tfrac136ln|x-1|

Resposta

136ln|x-1| - 136ln|x+5| + 16(x+5) + C

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