Determine:
integral sen^2 x cdot cos ^5 x d x
Sugestão: u=sen x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin^2 x cos^5 x ,dx. O assunto é integrais de funções trigonométricas e a ideia é usar a substituição u=sin x junto com a identidade cos^2 x=1-sin^2 x.

Passo 2

Com u=sin x, temos du=cos x,dx. Precisamos expressar tudo em termos de u e du, então separamos um fator cos x,dx na integral original. Reescrevendo cos^5 x como cos^4 xcdotcos x e usando cos^2 x=1-u^2, obtemos cos^4 x=(1-u^2)^2. Logo cos^5 x,dx=(1-u^2)^2,du.

Passo 3

Substituindo na integral, fica
integral sin^2 x cos^5 x ,dx = integral u^2 (1-u^2)^2 ,du
Expandindo (1-u^2)^2, temos
integral (u^2 - 2u^4 + u^6) ,du

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral u^2 ,du = u^33, integral -2u^4 ,du = -2u^55, integral u^6 ,du = u^77
Logo, a primitiva em termos de u é
u^33 - 2u^55 + u^77 + C
Agora só falta voltar para x usando u=sin x.

Resposta

sin^3 x3 - 2sin^5 x5 + sin^7 x7 + C

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