1. Gotas de chuva caem 1139 m da nuvem até o chão. Se elas não estivessem sujeitas à resistência do ar, qual seria a velocidade ao atingir o solo \mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h} ?
    (a) 566,3
    (b) 481,5
    (c) 496,5
    (d) 607,5
    (e) 543,3

Passo 1

O enunciado diz que gotas de chuva caem de uma nuvem até o chão numa altura de 1139\\ \mathrm{m}. Pede-se a velocidade com que elas atingiriam o solo se não houvesse resistência do ar, em \mathrm{km/h}.
Informações importantes dadas:
  • altura h = 1139\\ \mathrm{m};
  • velocidade inicial ao se desprender da nuvem v_0 = 0 (assumimos que largam do repouso verticalmente);
  • desprezar resistência do ar (queda em “vácuo” com aceleração constante).
    A pergunta é: qual é a velocidade final v ao atingir o solo, expressa em \mathrm{km/h}?

Passo 2

Modelo físico e equação a usar. Como não há resistência do ar, a queda é com aceleração constante igual à gravidade g. Para movimentos com aceleração constante existe uma relação entre velocidade, aceleração e deslocamento que dispensa conhecer o tempo:
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta s
onde:
  • v é a velocidade final (em \mathrm{m/s});
  • v_0 é a velocidade inicial (em \mathrm{m/s});
  • a é a aceleração (em \mathrm{m/s^2});
  • \Delta s é o deslocamento na direção da aceleração (em \mathrm{m}).
Breve justificativa da fórmula (passo pedagógico): partimos das equações v = v_0 + a t e \Delta s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2. Eliminando t entre elas (ou integrando a = dv/dt e usando v\,dv = a\,ds) chega-se à fórmula \;v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta s\;. É uma fórmula padrão em cinemática para aceleração constante.
Observação sobre o valor de g: em física usamos comumente g \approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, mas muitos exercícios de prova adotam g=10\\ \mathrm{m/s^2} para facilitar contas e porque as opções costumam corresponder a esse arredondamento. Vou usar g=10\\ \mathrm{m/s^2} aqui, explicando ao final a diferença que daria usar g=9{,}8.

Passo 3

Aplicando a fórmula com v_0=0, a=g e \Delta s=h:
v^2 = 0 + 2 g h \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2 g h}.

Passo 4

Substituindo os números com g=10\\ \mathrm{m/s^2} e h=1139\\ \mathrm{m}:
2 g h = 2\cdot 10 \cdot 1139 = 22780.
Portanto, a velocidade em \mathrm{m/s} é
v = \sqrt{22780}.
Para aproximar a raiz: 150^2 = 22500 e 151^2 = 22801, então \sqrt{22780} fica pouco abaixo de 151. Calculando com mais precisão:
v \approx 150{,}93\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Converter para \mathrm{km/h}. A relação é 1\\ \mathrm{m/s} = 3{,}6\\ \mathrm{km/h}. Então
v_{\mathrm{km/h}} = v_{\mathrm{m/s}}\times 3{,}6 \approx 150{,}93 \times 3{,}6.
Fazendo o produto:
150{,}93 \times 3{,}6 \approx 543{,}35\\ \mathrm{km/h},
ou arredondando para uma casa decimal,
v \approx 543{,}3\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Comentário sobre a escolha de g: se em vez de g=10 usássemos g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} obteríamos
v=\sqrt{2\cdot 9{,}8 \cdot 1139}\approx 149{,}49\\ \mathrm{m/s}\equiv 538{,}16\\ \mathrm{km/h},
ou seja, cerca de 538{,}2\\ \mathrm{km/h}. Como as alternativas fornecidas no enunciado contêm 543{,}3 e não 538{,}2, conclui-se que o enunciado espera o uso de g=10\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

(e) 543,3 km/h

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