Sabendo-se que a Energia Mecânica é dada pela soma da Energia Potencial e Energia Cinética, mostre que
E=U+K=\frac{1}{2} k x_{m}^{2}
onde k é a constante elástica da mola.

Passo 1

O enunciado afirma que a energia mecânica total de um sistema massa–mola em movimento harmônico simples (MHS) é
E = U + K
onde U é a energia potencial elástica e K é a energia cinética. Nosso objetivo é mostrar que essa energia total é constante e vale
E = \tfrac12\,k\,x_{m}^{2},
sendo k a constante elástica da mola e x_{m} a amplitude do movimento.

Passo 2

A energia potencial armazenada na mola, segundo a lei de Hooke, é
U = \tfrac12\,k\,x^{2},
onde x é o deslocamento instantâneo em relação à posição de equilíbrio.

Passo 3

A energia cinética da massa em movimento com velocidade v é
K = \tfrac12\,m\,v^{2},
sendo m a massa do corpo.

Passo 4

Para o MHS temos
x(t) = x_{m}\cos(\omega t), \quad v(t) = -\,\omega\,x_{m}\sin(\omega t), \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Substituindo em U+K obtém-se
E = \tfrac12\,k\bigl[x_{m}\cos(\omega t)\bigr]^{2} + \tfrac12\,m\bigl[\omega\,x_{m}\sin(\omega t)\bigr]^{2}.

Passo 5

Escrevendo cada termo e usando m\,\omega^{2}=k, temos
E = \tfrac12\,k\,x_{m}^{2}\cos^{2}(\omega t) + \tfrac12\,k\,x_{m}^{2}\sin^{2}(\omega t) = \tfrac12\,k\,x_{m}^{2}\bigl[\cos^{2}(\omega t)+\sin^{2}(\omega t)\bigr] = \tfrac12\,k\,x_{m}^{2}.

Resposta

E = \frac12\,k\,x_{m}^{2}.

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