Um corpo de massa m=2,0 \mathrm{~kg}, preso a uma mola de constante elástica k=2000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, é deslocado até a posição x_{m}, distante 10 cm da sua posição de equilíbrio O. Abandonando-se o corpo, ele passa a oscilar realizando um MHS.
a) Calcule a energia cinética e a energia potencial elástica no ponto A ;
b) Calcule a energia mecânica do sistema;
c) Calcule a velocidade do corpo ao passar pelo ponto P , distante 5 cm de O ;
d) Construa o diagrama da energia mecânica, da energia cinética e da energia potencial, em função da posição.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico simples de um corpo de massa m=2,0\rm\,kg preso a uma mola de constante elástica k=2000\rm\,N/m. O corpo é deslocado até a posição de equilíbrio O mais x_{m}=0,10\rm\,m (ponto A) e então largado. Precisamos calcular:
– em A, energia cinética K e potencial elástica U;
– a energia mecânica total E_{m};
– a velocidade ao passar por P onde x=0,05\rm\,m;
– e desenhar o diagrama de E_{m}(x), K(x) e U(x).

Passo 2

No ponto A (amplitude x_{m}=0,10\rm\,m) o corpo está momentaneamente em repouso, logo
K_{A}=0.
A energia potencial elástica vale
U_{A}=\tfrac12\,k\,x_{m}^{2}
U_{A}=\tfrac12\cdot2000\cdot(0,10)^{2}=10\rm\,J.

Passo 3

Como não há dissipação, a energia mecânica total é constante e igual à soma em A:
E_{m}=K_{A}+U_{A}=0+10=10\rm\,J.

Passo 4

Para achar a velocidade em P onde x=0,05\rm\,m, usamos conservação de energia:
E_{m}=K_{P}+U_{P}
K_{P}=E_{m}-\tfrac12\,k\,x^{2}
K_{P}=10-\tfrac12\cdot2000\cdot(0,05)^{2}=10-2,5=7,5\rm\,J.
Como K_{P}=\tfrac12\,m\,v^{2}, temos
v=\pm\sqrt{\frac{2\,K_{P}}{m}} =\pm\sqrt{\frac{2\cdot7,5}{2,0}} =\pm\sqrt{7,5} \approx\pm2,74\rm\,m/s.

Passo 5

As três energias em função da posição x são:
E_{m}(x)=10\rm\,J\quad(\hbox{reta horizontal}),
U(x)=\tfrac12\,k\,x^{2}\quad(\hbox{parábola que parte de }(0,0)\hbox{ e atinge }(0,10,10)),á
K(x)=E_{m}-U(x)=10-\tfrac12\,k\,x^{2}\quad(\hbox{parábola invertida que vale }10\rm\,J\text{ em }x=0\text{ e }0\rm\,J\text{ em }x=0,10).á
No gráfico, para 0\le x\le0,10:
– em x=0, \,U=0, K=10;
– em x=0,05, \,U=2,5, K=7,5;
– em x=0,10, \,U=10, K=0.

Resposta

a) Em A: K_{A}=0, U_{A}=10\rm\,J.
b) E_{m}=10\rm\,J.
c) Ao passar por P x=0,05\rm\,m: \displaystyle v=\pm2,74\rm\,m/s.
d) Diagrama em função de x:
E_{m}(x): linha horizontal em 10\rm\,J.
U(x)=\tfrac12kx^2: parábola crescente de U(0)=0 até U(0,10)=10\rm\,J.
K(x)=10-\tfrac12kx^2: parábola invertida de K(0)=10 até K(0,10)=0.

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