Uma bola é lançada com velocidade inicial v0 formando um ângulo theta com a horizontal. Deduz as equações da posição da bola em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que uma bola é lançada com uma velocidade inicial $ v_0 $ formando um ângulo $ \theta $ com a horizontal. Nosso objetivo aqui é deduzir as equações que descrevem a posição da bola em função do tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cinemática, especificamente o movimento projetado, que estuda como objetos se movem quando lançados com certa velocidade e ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o movimento da bola pode ser decomposto em duas partes independentes: o movimento horizontal (x) e o movimento vertical (y).
No movimento horizontal, não há aceleração, pois a única força atuando seria a resistência do ar, que vamos ignorar para simplificar. Isso significa que a velocidade horizontal $ v_x $ permanece constante ao longo do tempo.
Já no movimento vertical, a única aceleração que atua é a da gravidade $ g $, que puxa a bola para baixo. Portanto, a velocidade vertical $ v_y $ varia com o tempo.

Passo 3

Vamos começar decompondo a velocidade inicial $ v_0 $ nos seus componentes horizontal e vertical.
A componente horizontal da velocidade é:
v0
A componente vertical da velocidade é:
v0x = v0 cdot cos(theta)
Essas duas componentes vão nos ajudar a descrever o movimento em cada direção.

Passo 4

Agora, vamos escrever as equações da posição em cada direção.
Para o movimento horizontal, como não há aceleração, a posição $ x $ em função do tempo $ t $ é dada por:
x
Já para o movimento vertical, considerando a aceleração da gravidade, a posição $ y $ em função do tempo $ t $ é:
t

Resposta

As equações da posição da bola em função do tempo são:
x(t) = v0 cdot cos(theta) cdot t
y(t) = v0 cdot sin(theta) cdot t - 12 g t^2

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