Uma bola é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial ω_{0}=10 \mathrm{~m} / \\mathrm{s}. Utilizando g=9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, responda:
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO “.”, não utilize a vírgula!
Quanto tempo depois de ser lançada, a bola retornará ao solo?

Passo 1

O que o exercício pede: determinar o tempo após o lançamento em que a bola retorna ao solo.
Informações dadas pelo enunciado:
  • Velocidade inicial vertical para cima: \omega_{0}=10\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração da gravidade (para baixo): g=9.81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Pedido: tempo t>0 tal que a bola volte ao solo (ou seja, sua altura seja zero novamente).
  • Pressuposição implícita (adequada ao enunciado): a bola é lançada a partir do solo, então a altura inicial é y_{0}=0.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas simples e interpretamos sinais:
  • Tomamos a direção para cima como positiva.
  • A aceleração é para baixo, então aparece com sinal negativo: -g.
  • Variáveis que usaremos: y(t) é a altura em metros no tempo t em segundos, e t é o tempo desde o lançamento.

Passo 3

Escrevemos a equação do movimento vertical (cinemática com aceleração constante). A fórmula geral para a posição é
y(t)=y_{0}+v_{0}\,t-\frac{1}{2}g\,t^{2},
onde
  • y_{0} é a altura inicial (em metros),
  • v_{0} é a velocidade inicial (em m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
  • t é o tempo (em s).
Aqui podemos identificar v_{0}=\omega_{0} pois ambos representam a velocidade inicial vertical. Vou denotar v_{0}=\omega_{0} para ficar claro.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos e a condição de retorno ao solo y(t)=0. Com y_{0}=0 e v_{0}=\omega_{0}=10\\ \mathrm{m/s} e g=9.81\\ \mathrm{m/s^{2}}, obtemos
0 = 0 + 10\,t - \frac{1}{2}\cdot 9.81\,t^{2}.
Simplificando,
0 = 10\,t - \frac{9.81}{2}\,t^{2}.

Passo 5

Fatoramos t para resolver a equação:
0 = t\left(10 - \frac{9.81}{2}\,t\right).
Isso dá duas soluções possíveis:
t=0 \quad\text{ou}\quad 10 - \frac{9.81}{2}\,t=0.
A solução t=0 é o instante do lançamento; a que nos interessa é a segunda.

Passo 6

Resolvendo a segunda equação para t:
10 - \frac{9.81}{2}\,t=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{9.81}{2}\,t=10 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{10\cdot 2}{9.81}=\frac{20}{9.81}.

Passo 7

Fazemos a aproximação numérica de \dfrac{20}{9.81}. Observação rápida de verificação: o tempo até o ápice é t_{\text{ápice}}=v_{0}/g=10/9.81\approx 1{.}019\\ \mathrm{s}á, e o tempo total de subida+descida é o dobro, ou seja aproximadamente 2{.}038\\ \mathrm{s}, o que confirma o resultado que vamos calcular.
Efetuando a divisão:
t=\frac{20}{9.81}\approx 2{.}0387\\ \mathrm{s}.
Arredondando comumente para duas casas decimais:
t\approx 2{.}04\\ \mathrm{s}.

Resposta

2.04\\ \mathrm{s}

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