Despeja-se água em um container cilíndrico de raio 20 cm a uma taxa de 21 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s}. Qual é a taxa do aumento de nível da água no interior do cilindro, em \mathrm{cm} / \mathrm{s} ?

Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO ".", não utilize a vírgula!

\square
0.0167 \checkmark
Uma possivel resposta correta é: 0.016711269024649

Passo 1

O que o problema pede: determinar a taxa de aumento do nível da água no cilindro, ou seja, encontrar \dfrac{dh}{dt} em \mathrm{cm/s}.
Informações dadas:

\;r=20\\ \mathrm{cm} (raio do cilindro, constante)

\;\dfrac{dV}{dt}=21\\ \mathrm{cm^3/s} (taxa de entrada de volume)

O recipiente é um cilindro e a altura do líquido é h(t). Queremos relacionar a variação do volume com a variação da altura.

Passo 2

Fórmula do volume de um cilindro: o volume V de um cilindro de raio r e altura h é
V=\pi r^{2}h.
Explicando: \pi r^{2} é a área da base (em \mathrm{cm^{2}}) e multiplicando pela altura h (em \mathrm{cm}) obtemos o volume (em \mathrm{cm^{3}}). As variáveis aqui são:

\;V(t) = volume da água no instante t,

\;r = raio do cilindro (aqui constante, 20\\ \mathrm{cm}),

\;h(t) = altura do nível da água no instante t.

Passo 3

Agora derivamos a relação entre V e h em relação ao tempo t. Como r é constante, ao derivar obtemos:
\frac{dV}{dt}=\pi r^{2}\frac{dh}{dt}.
Breve explicação do porquê: estamos usando a regra da derivada de uma constante vezes uma função — a área da base \pi r^{2} é constante, então a derivada de \pi r^{2}h(t) é \pi r^{2} vezes a derivada de h(t).

Passo 4

Isolamos \dfrac{dh}{dt} na expressão anterior:
\frac{dh}{dt}=\frac{1}{\pi r^{2}}\frac{dV}{dt}.
Agora substituímos os valores dados: \dfrac{dV}{dt}=21 e r=20. Isso dá
\frac{dh}{dt}=\frac{21}{\pi (20)^{2}}.

Passo 5

Simplificando (20)^{2}=400, temos a forma exata:
\frac{dh}{dt}=\frac{21}{400\pi}\\ \mathrm{cm/s}.
Essa é a resposta exata em termos de \pi.

Passo 6

Se quisermos a forma decimal, aproximamos \pi\approx 3{.}141592653589793 e calculamos
\frac{21}{400\pi}\approx 0{.}016711269024649\\ \mathrm{cm/s}.
Arredondando para quatro casas decimais dá 0{.}0167\\ \mathrm{cm/s}, que aparece na alternativa.

Resposta

\dfrac{21}{400\pi}\\ \mathrm{cm/s}

\;0{.}016711269024649\\ \mathrm{cm/s}

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