Despeja-se água em um container cilíndrico de raio 20 cm a uma taxa de
. Qual é a taxa do aumento de nível da água no interior do cilindro, em
?
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO ".", não utilize a vírgula!
0.0167
Uma possivel resposta correta é: 0.016711269024649
0.0167
Passo 1
O que o problema pede: determinar a taxa de aumento do nível da água no cilindro, ou seja, encontrar
em
.
Informações dadas:
(raio do cilindro, constante)
(taxa de entrada de volume)
O recipiente é um cilindro e a altura do líquido é . Queremos relacionar a variação do volume com a variação da altura.
O recipiente é um cilindro e a altura do líquido é
Passo 2
Fórmula do volume de um cilindro: o volume
de um cilindro de raio
e altura
é
Explicando:
é a área da base (em
) e multiplicando pela altura
(em
) obtemos o volume (em
). As variáveis aqui são:
= volume da água no instante
,
= raio do cilindro (aqui constante,
),
= altura do nível da água no instante
.
Passo 3
Agora derivamos a relação entre
e
em relação ao tempo
. Como
é constante, ao derivar obtemos:
Breve explicação do porquê: estamos usando a regra da derivada de uma constante vezes uma função — a área da base
é constante, então a derivada de
é
vezes a derivada de
.
Passo 4
Isolamos
na expressão anterior:
Agora substituímos os valores dados:
e
. Isso dá
Passo 5
Simplificando
, temos a forma exata:
Essa é a resposta exata em termos de
.
Passo 6
Se quisermos a forma decimal, aproximamos
e calculamos
Arredondando para quatro casas decimais dá
, que aparece na alternativa.