Sejam dois números positivos cuja soma é 25 e cujo produto é o maior possível. Calcule o valor desse produto máximo.
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO “.”, não utilize a vírgula!
156.25
156.25
Passo 1
O enunciado dá que existem dois números positivos cuja soma é
e pede o valor máximo possível do produto desses dois números. Informações relevantes:
Ou seja: encontre o maior valor que
pode assumir sabendo que
e
são positivos e que
.
Passo 2
Vamos introduzir uma variável para reduzir para uma única variável: escolha
como uma das parcelas e escreva a outra em função de
. Como
, temos
Substituindo em
obtemos a função do produto em termos de
:
Domínio devido à condição de positividade:
.
Passo 3
Explico um método algébrico simples e robusto: completar quadrado. Esse método é ótimo porque não precisa de cálculo e é muito comum em provas. Vamos reescrever
colocando-o na forma de um quadrado negativo (parábola invertida), para identificar o máximo claramente.
Passo 4
Completar quadrado em
. Primeiro escrevemos em ordem padrão:
Fatoramos o sinal negativo para completar o quadrado dentro:
Agora completamos o quadrado na expressão
. A regra: para
, adicionamos e subtraímos
. Aqui
, então
Substituindo isso em
:
Distribuindo o sinal negativo:
Calculamos
:
Como o termo
é sempre menor ou igual a
(quadrado é
e com sinal negativo fica
), o maior valor de
ocorre quando esse quadrado é
, isto é quando
Então o produto máximo é
Nesse ponto
, ou seja os dois números são iguais
.
Passo 5
Dou uma explicação alternativa curta e muito conhecida (AM-GM) que também mostra a ideia por trás do resultado: para
,
(como resultado da desigualdade média aritmética ≥ média geométrica). Elevando ambos os lados ao quadrado:
Como
, temos
A igualdade ocorre quando
, ou seja
. Mesmo resultado, método mais curto quando se lembra da desigualdade AM-GM.
Passo 6
Verificação usando derivada (cheque rápido, se preferir cálculo): temos
. Calculando a derivada:
Zerando para encontrar extremos:
Segunda derivada
indica máximo. Produto
. Confirmação completa.
Passo 7
Conclusão intuitiva e motivação: para soma fixa, o produto é maximizado quando os dois termos são iguais — é uma dica útil para muitas questões parecidas na prova. Aqui a igualdade
para ambos dá o produto máximo
. Você conseguiu — é um problema clássico e agora já tem três jeitos de resolver: completar quadrado, desigualdade AM-GM e derivada.