Sejam dois números positivos cuja soma é 25 e cujo produto é o maior possível. Calcule o valor desse produto máximo.
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO “.”, não utilize a vírgula!
\square
156.25 \checkmark

Passo 1

O enunciado dá que existem dois números positivos cuja soma é 25 e pede o valor máximo possível do produto desses dois números. Informações relevantes:
\text{soma: } x+y=25,
\text{condição: } x>0,\; y>0,çã
\text{objetivo: maximizar } P=xy.
Ou seja: encontre o maior valor que P=xy pode assumir sabendo que x e y são positivos e que x+y=25.

Passo 2

Vamos introduzir uma variável para reduzir para uma única variável: escolha x como uma das parcelas e escreva a outra em função de x. Como x+y=25, temos
y=25-x.
Substituindo em P obtemos a função do produto em termos de x:
P(x)=x(25-x)=25x-x^{2}.
Domínio devido à condição de positividade: 0<x<25.

Passo 3

Explico um método algébrico simples e robusto: completar quadrado. Esse método é ótimo porque não precisa de cálculo e é muito comum em provas. Vamos reescrever P(x) colocando-o na forma de um quadrado negativo (parábola invertida), para identificar o máximo claramente.

Passo 4

Completar quadrado em P(x)=25x-x^{2}. Primeiro escrevemos em ordem padrão:
P(x)=-x^{2}+25x.
Fatoramos o sinal negativo para completar o quadrado dentro:
P(x)=-(x^{2}-25x).
Agora completamos o quadrado na expressão x^{2}-25x. A regra: para x^{2}-bx, adicionamos e subtraímos (b/2)^{2}. Aqui b=25, então
x^{2}-25x = \bigl(x^{2}-25x+\bigl(\tfrac{25}{2}\bigr)^{2}\bigr)-\bigl(\tfrac{25}{2}\bigr)^{2}.
Substituindo isso em P(x):
P(x)= -\Bigl(\bigl(x-\tfrac{25}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{25}{2}\bigr)^{2}\Bigr).
Distribuindo o sinal negativo:
P(x)= -\bigl(x-\tfrac{25}{2}\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac{25}{2}\bigr)^{2}.
Calculamos \bigl(\tfrac{25}{2}\bigr)^{2}:
\bigl(\tfrac{25}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{625}{4}=156{.}25.
Como o termo -\bigl(x-\tfrac{25}{2}\bigr)^{2} é sempre menor ou igual a 0 (quadrado é \ge0 e com sinal negativo fica \le0), o maior valor de P(x) ocorre quando esse quadrado é 0, isto é quando
x-\tfrac{25}{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{25}{2}=12{.}5.
Então o produto máximo é
P_{\max}=\bigl(\tfrac{25}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{625}{4}=156{.}25.
Nesse ponto y=25-x=12{.}5, ou seja os dois números são iguais 12{.}5.

Passo 5

Dou uma explicação alternativa curta e muito conhecida (AM-GM) que também mostra a ideia por trás do resultado: para x,y>0,
\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}
(como resultado da desigualdade média aritmética ≥ média geométrica). Elevando ambos os lados ao quadrado:
\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)^{2}\ge xy.
Como x+y=25, temos
xy \le \bigl(\tfrac{25}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{625}{4}=156{.}25.
A igualdade ocorre quando x=y, ou seja x=y=12{.}5. Mesmo resultado, método mais curto quando se lembra da desigualdade AM-GM.

Passo 6

Verificação usando derivada (cheque rápido, se preferir cálculo): temos P(x)=25x-x^{2}. Calculando a derivada:
P'(x)=25-2x.
Zerando para encontrar extremos:
25-2x=0 \Rightarrow x=12{.}5.
Segunda derivada P''(x)=-2<0 indica máximo. Produto 12{.}5\cdot12{.}5=156{.}25. Confirmação completa.

Passo 7

Conclusão intuitiva e motivação: para soma fixa, o produto é maximizado quando os dois termos são iguais — é uma dica útil para muitas questões parecidas na prova. Aqui a igualdade 12{.}5 para ambos dá o produto máximo 156{.}25. Você conseguiu — é um problema clássico e agora já tem três jeitos de resolver: completar quadrado, desigualdade AM-GM e derivada.

Resposta

156.25

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