Uma bola é largada de uma altura de 10 m . Cada vez que bate no chão, ela retorna verticalmente até uma altura que é 34 da altura precedente. Encontre a distância total que a bola percorre, supondo que retorne indeterminadamente.

Passo 1

Resumo do problema: Uma bola é largada de uma altura inicial H=10 m e, a cada choque, retorna até uma altura igual a r=3/4 da altura anterior. Queremos a distância total percorrida no movimento vertical, usando séries geométricas infinitas.

Passo 2

Análise dos percursos: Na primeira queda a bola desce H=10 m. Em seguida ela sobe até H₁=H·r=10·(3/4)=7,5 m e depois cai novamente 7,5 m. Depois sobe H₂=H₁·r, cai H₂, e assim por diante. Logo, além dos 10 m iniciais, há percursos de subida e descida formados pela sequência H₁, H₂, H₃, … com Hₙ=H·rⁿ.

Passo 3

Soma das distâncias de subida e descida: Cada Hₙ aparece duas vezes (subida e descida), formando uma série geométrica infinita de primeiro termo a=H₁=7,5 m e razão r=3/4. Sabemos que para |r|<1 vale
S=a1-r
Portanto, a soma das subidas e descidas é
2S=2cdot7,51-tfrac34=2cdot7,50,25

Passo 4

Cálculo numérico final:
2S=2cdot30=60
Somando os 10 m iniciais: 10+60=70.

Resposta

70 m

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