Determine as seguintes integrais:
integral(x^2+x)^3(2 x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício é de cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável que simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Observando a expressão u = x^2 + x , percebemos que pode ser uma boa candidata para substituição. Vamos chamar essa expressão de .
Então, deixamos:

Passo 3

Agora precisamos calcular a derivada de dudx = 2x + 1 em relação a du = (2x + 1) , dx para encontrar :
Perceba que o termo já está presente na nossa integral, o que facilita a substituição.

Passo 4

Com integral(x^2+x)^3(2 x+1) , dx = integral u^3 , du e , podemos reescrever a integral original em termos de :

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^3 , du = u^44 + C em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u^44 + C = (x^2 + x)^44 + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral (x^2 + x)^44 + C é igual a:

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