Determine as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral de uma expressão que envolve termos com
e suas potências. O conteúdo que vamos usar aqui é a integração de funções polinomiais e racionais, e vamos precisar aplicar as regras básicas de integração para cada termo separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos resolver:
A ideia é separar a integral em partes menores para facilitar o cálculo. Isso é possível graças à propriedade da linearidade da integral, que nos permite integrar termo a termo.
Passo 3
Vamos separar a integral:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 4
Integrando
:
A integral de
em relação a
é
. Então, multiplicamos pelo coeficiente
:
Passo 5
Integrando
:
A integral de uma constante
em relação a
é
:
Passo 6
Integrando
:
Sabemos que
. Então, multiplicamos pelo coeficiente
:
Passo 7
Integrando
:
Primeiro, reescrevemos
como
. A integral de
é
, desde que
. Então:
Passo 8
Agora, somamos todas as integrais que calculamos:
Aqui,
é a constante de integração, que sempre adicionamos quando calculamos uma integral indefinida.
Resposta
A integral de
em relação a
é: