Calcule a área situada entre a curva y=x^3-3 x e a reta y=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área entre a curva e a reta . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com integração para encontrar a área entre duas curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas funções se encontram e então integrar a diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas funções. Isso significa resolver a equação x^3 - 3x = x x^3 - 4x = 0 x(x^2 - 4) = 0 :
Assim, as soluções são , e . Esses são os pontos onde as duas curvas se cruzam.

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, precisamos identificar qual função está acima da outra em cada intervalo. Vamos escolher um valor de ycurva = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 yreta = -1 entre -2 e 0, por exemplo, ycurva = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 yreta = 1 :
Aqui, . Agora, escolha um valor entre 0 e 2, digamos :
Neste caso, . Então, a curva está acima da reta de -2 a 0, e a reta está acima da curva de 0 a 2.

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da função superior menos a função inferior:
Área = integrala^b (fsup(x) - finf(x)) , dx Á
No nosso caso, de -2 a 0, e . De 0 a 2, e .

Passo 5

Vamos calcular a integral de -2 a 0:
integral-2^0 [(x^3 - 3x) - x] , dx = integral-2^0 (x^3 - 4x) , dx
Integrando termo a termo:
[ x^44 - 2x^2 ]-2^0 = (0 - 0) - ((-2)^44 - 2(-2)^2) = 0 - (164 - 8) = 0 - (4 - 8) = 4

Passo 6

Agora, calculamos a integral de 0 a 2:
integral0^2 [x - (x^3 - 3x)] , dx = integral0^2 (-x^3 + 4x) , dx
Integrando termo a termo:
[ -x^44 + 2x^2 ]0^2 = (-164 + 8) - (0 + 0) = (-4 + 8) = 4

Passo 7

Finalmente, somamos as áreas dos dois intervalos:
Área Total = 4 + 4 = 8 Á

Resposta

A área entre a curva e a reta é 8 unidades quadradas.

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