A field is given as \mathbf{G}=\frac{25}{x^{2}+y^{2}}\left(x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}\right). Find: (a) a unit vector in the direction of \mathbf{G} at P(3,4,-2) ;(b) the angle between \mathbf{G} and \mathbf{a}_{x} at P ;\text{(c)} the value of the double integral \int_{x=0}^{4} \int_{z=0}^{2} \mathbf{G} \cdot d x d z \mathbf{a}_{y} on the plane y=7.

Passo 1

O campo vetorial é
\mathbf{G}(x,y,z)=\frac{25}{x^{2}+y^{2}}\bigl(x\,\mathbf{a}_{x}+y\,\mathbf{a}_{y}\bigr)
e o enunciado pede:
(a) o vetor unitário na direção de \mathbf{G} em P(3,4,-2);
(b) o ângulo entre \mathbf{G} e \mathbf{a}_{x} em P;
(c) a integral
\int_{x=0}^{4}\int_{z=0}^{2}\mathbf{G}\cdot\bigl(\mathbf{a}_{y}\,dx\,dz\bigr)
no plano y=7.
Vamos, respectivamente, avaliar \mathbf{G} em P, usar a definição de ângulo entre vetores e interpretar o elemento de área vetorial no plano y= constante.

Passo 2

Em P(3,4,-2) temos
x^{2}+y^{2}=3^{2}+4^{2}=25,
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\mathbf{G}(P)=\frac{25}{25}(3\,\mathbf{a}_{x}+4\,\mathbf{a}_{y})=3\,\mathbf{a}_{x}+4\,\mathbf{a}_{y}.
O módulo de \mathbf{G}(P) é
\bigl\lvert\mathbf{G}(P)\bigr\rvert =\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,
de onde o vetor unitário na direção de \mathbf{G} em P é
\mathbf{u}_{G} =\frac{\mathbf{G}(P)}{\lvert\mathbf{G}(P)\rvert} =\frac{3}{5}\,\mathbf{a}_{x}+\frac{4}{5}\,\mathbf{a}_{y}.

Passo 3

O ângulo \theta entre \mathbf{G}(P) e \mathbf{a}_{x} satisfaz
\cos\theta =\frac{\mathbf{G}(P)\cdot\mathbf{a}_{x}} {\lvert\mathbf{G}(P)\rvert\;\lvert\mathbf{a}_{x}\rvert} =\frac{3}{5\cdot1}=\frac{3}{5}.
Portanto
\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr).

Passo 4

No plano y=7, o vetor de área orientado é \mathbf{a}_{y}\,dx\,dz. Em cada ponto desse plano
\mathbf{G} =\frac{25}{x^{2}+7^{2}}\bigl(x\,\mathbf{a}_{x}+7\,\mathbf{a}_{y}\bigr)
e
\mathbf{G}\cdot\mathbf{a}_{y} =\frac{25\cdot7}{x^{2}+49} =\frac{175}{x^{2}+49}.
Logo a integral fica
\int_{x=0}^{4}\int_{z=0}^{2}\frac{175}{x^{2}+49}\,dz\,dx =\int_{x=0}^{4}\frac{175}{x^{2}+49}\Bigl(\int_{z=0}^{2}dz\Bigr)dx =2\int_{0}^{4}\frac{175}{x^{2}+49}\,dx.
Como
\int\frac{dx}{x^{2}+49} =\frac{1}{7}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{7}\bigr),
temos
2\cdot175\cdot\frac{1}{7}\biggl[\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{7}\bigr)\biggr]_{0}^{4} =50\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{7}\bigr).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{3}{5}\,\mathbf{a}_{x}+\frac{4}{5}\,\mathbf{a}_{y}
(b) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)
(c) \displaystyle 50\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{7}\bigr)

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