Uma bola maciça, de massa 1,4 kg e diâmetro de 15 cm , gira em torno do seu diâmetro a 70 ver/min.
Se a bola receber 2 J de energia de rotação extra, qual a nova velocidade angular da sua rotação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma bola maciça que está girando e recebe um empurrãozinho de energia extra. A matéria envolvida aqui é a Dinâmica Rotacional, e vamos precisar entender conceitos como momento de inércia, velocidade angular e energia cinética rotacional. Vamos por partes para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Massa da bola ( m): 1,4 kg
  • Diâmetro da bola: 15 cm, então o raio ( r) é metade disso, ou seja, 7,5 cm = 0,075 m
  • Velocidade de rotação inicial: 70 voltas por minuto (rpm)
  • Energia extra fornecida ( De): 2 J

Passo 3

Precisamos converter a velocidade de rotação de rpm para radianos por segundo, porque usamos rad/s nos cálculos de dinâmica rotacional. Sabemos que:
1 vo
1 minuto = 60 segundos
Então:
omegainicial = 70 , rpm times 2pi , rad1 , vo
omegainicial = 70 times 2pi60
omegainicial = 140pi60
omegainicial approx 7,33 , rad/s

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento de inércia ( I) da bola. Para uma esfera maciça girando em torno de seu diâmetro, a fórmula é:
I = 25 m r^2
Substituindo os valores:
I = 25 times 1,4 , kg times (0,075 , m)^2
I = 25 times 1,4 times 0,005625
I = 25 times 0,007875
I approx 0,00315 , kg cdot m^2

Passo 5

A energia cinética rotacional ( Ek) é dada por:
Ek = 12 I omega^2
Vamos calcular a energia inicial:
Ekinicial = 12 times 0,00315 times (7,33)^2
Ekinicial = 0,001575 times 53,7289
Ekinicial approx 0,0847 , J

Passo 6

A bola recebe uma energia extra de 2 J, então a energia total após o recebimento é:
Ekfinal = Ekinicial + De
Ekfinal = 0,0847 , J + 2 , J
Ekfinal = 2,0847 , J

Passo 7

Agora, vamos achar a nova velocidade angular ( omegafinal) usando a mesma fórmula da energia cinética rotacional:
Ekfinal = 12 I omegafinal^2
Isolando omegafinal:
omegafinal = raiz 2 EkfinalI
Substituindo os valores:
omegafinal = raiz 2 times 2,08470,00315
omegafinal = raiz 4,16940,00315
omegafinal = raiz1323,999
omegafinal approx 36,38 , rad/s

Resposta

A nova velocidade angular da bola após receber 2 J de energia extra é aproximadamente 36,38 rad/s.

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