Duas massas puntiformes, m1 e m2 estão presas a uma haste de comprimento L e massa desprezível, formando um haltere que gira em torno do respectivo centro de massa com a velocidade angular omega. Mostrar que a razão entre as energias cinéticas das massas K1 / K2=m2 / m1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas massas, m1 e m2, presas a uma haste que forma um haltere. Esse haltere está girando em torno do seu centro de massa com uma velocidade angular omega. Nosso objetivo é mostrar que a razão entre as energias cinéticas das duas massas é igual à razão inversa de suas massas, ou seja, K1K2 = m2m1. Para isso, vamos usar conceitos de cinética rotacional e centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa de um sistema é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para fins de análise de movimento. Para duas massas, m1 e m2, presas em uma haste, a posição do centro de massa ( xCM) pode ser calculada usando a fórmula:
xCM = m1 cdot x1 + m2 cdot x2m1 + m2
Onde x1 e x2 são as posições das massas em relação a uma referência fixada na haste.

Passo 3

Como a haste tem comprimento L e massa desprezível, podemos considerar que x1 e x2 estão equidistantes do centro de massa. Vamos chamar essa distância de d1 para m1 e d2 para m2. Então, temos:
m1 cdot d1 = m2 cdot d2
Isso significa que as distâncias são inversamente proporcionais às massas.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre energia cinética rotacional. A energia cinética de uma massa em movimento circular é dada por:
K = 12 m cdot v^2
Onde v é a velocidade tangencial. Como o movimento é circular, a velocidade tangencial pode ser relacionada à velocidade angular omega pela relação:
v = omega cdot r
Onde r é o raio da trajetória, ou seja, a distância do centro de massa.

Passo 5

Substituindo v na fórmula da energia cinética, temos:
K = 12 m cdot (omega cdot r)^2 = 12 m cdot omega^2 cdot r^2
Para as duas massas, as energias cinéticas serão:
K1 = 12 m1 cdot omega^2 cdot d1^2
K2 = 12 m2 cdot omega^2 cdot d2^2

Passo 6

Queremos achar a razão K1K2. Vamos dividir as duas equações:
Simplificando, as constantes K1K2 = 12 m1 cdot omega^2 cdot d1^212 m2 cdot omega^2 cdot d2^2 e 12 se cancelam:
omega^2

Passo 7

Lembrando do Passo 3, onde m1 cdot d1 = m2 cdot d2, podemos expressar d1 em função de d2:
d1 = m2m1 cdot d2
Substituindo isso na razão das energias cinéticas:
Simplificando os termos:

Resposta

Portanto, a razão entre as energias cinéticas das massas é K1K2 = m2m1.

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