Duas massas puntiformes,
e
estão presas a uma haste de comprimento L e massa desprezível, formando um haltere que gira em torno do respectivo centro de massa com a velocidade angular
. Mostrar que a razão entre as energias cinéticas das massas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas massas,
e
, presas a uma haste que forma um haltere. Esse haltere está girando em torno do seu centro de massa com uma velocidade angular
. Nosso objetivo é mostrar que a razão entre as energias cinéticas das duas massas é igual à razão inversa de suas massas, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cinética rotacional e centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa de um sistema é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para fins de análise de movimento. Para duas massas,
e
, presas em uma haste, a posição do centro de massa (
) pode ser calculada usando a fórmula:
Onde
e
são as posições das massas em relação a uma referência fixada na haste.
Passo 3
Como a haste tem comprimento
e massa desprezível, podemos considerar que
e
estão equidistantes do centro de massa. Vamos chamar essa distância de
para
e
para
. Então, temos:
Isso significa que as distâncias são inversamente proporcionais às massas.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre energia cinética rotacional. A energia cinética de uma massa em movimento circular é dada por:
Onde
é a velocidade tangencial. Como o movimento é circular, a velocidade tangencial pode ser relacionada à velocidade angular
pela relação:
Onde
é o raio da trajetória, ou seja, a distância do centro de massa.
Passo 5
Substituindo
na fórmula da energia cinética, temos:
Para as duas massas, as energias cinéticas serão:
Passo 6
Queremos achar a razão
. Vamos dividir as duas equações:
Simplificando, as constantes
e
se cancelam:
Passo 7
Lembrando do Passo 3, onde
, podemos expressar
em função de
:
Substituindo isso na razão das energias cinéticas:
Simplificando os termos:
Resposta
Portanto, a razão entre as energias cinéticas das massas é
.