4.6- Uma bola de massa
, cuja velocidade inicial é
, sofre a ação de uma força aceleradora constante de
, durante
percurso retilíneo de
. Ao final do percurso, a bola se choca inelasticamente com uma parede, produzindo entre outros efeitos, deformação e calor. Suponha que apenas 50 % da energia cinética da bola seja convertida em calor e que
deste calor seja absorvido pela bola. O calor específico da bola vale
e o aumento de temperatura da bola soi de
.
Calcule a massa da bola.
[Ramalho Jr.; Ferraro; Soures, v 2, P 4 78]
[Ramalho Jr.; Ferraro; Soures, v 2, P 4 78]
Passo 1
O enunciado pede para calcular a massa da bola. Os dados fornecidos são:
- velocidade inicial da bola:
; - força aceleradora constante:
; - deslocamento sob essa força:
; - na colisão,
da energia cinética é convertida em calor e, desse calor, é absorvido pela bola; - calor específico da bola:
; - aumento de temperatura da bola:
.
O que se pede: determinar a massa
da bola (em unidades usuais: kg e/ou g).
Passo 2
Vamos usar o Teorema do Trabalho-Energia (também chamado de princípio trabalho-energia): o trabalho realizado pelas forças resultantes sobre um corpo muda sua energia cinética. Se a bola tem energia cinética inicial
e recebe trabalho
pela força
ao deslocar-se
, a energia cinética imediatamente antes da colisão é
Aqui
e
. Vou explicar cada termo:
-
é a massa da bola (incógnita); -
é a velocidade inicial, dada; -
é o trabalho (força constante vezes deslocamento), em joules.
Depois, parte dessa energia cinética é transformada em calor na colisão. Se uma fração
da energia cinética vira calor e a bola absorve uma fração
desse calor, o calor absorvido pela bola é
A relação entre calor absorvido e variação de temperatura é dada pela capacidade térmica:
onde
é o calor específico na unidade compatível com
(vou converter
para J/(kg·°C)). Iremos igualar as duas expressões para
e resolver para
.
Passo 3
Calcular o trabalho realizado pela força durante o deslocamento:
Passo 4
Escrever a energia cinética da bola imediatamente antes da colisão:
Substituindo
e
:
Portanto
Passo 5
Calcular o calor absorvido pela bola na colisão. Do enunciado:
(50% da energia cinética vira calor) e
(75% desse calor é absorvido pela bola). Assim
Substituindo
:
Passo 6
Relacionar o calor absorvido com a elevação de temperatura usando o calor específico. Primeiro converter
para unidades SI (J/(kg·°C)):
A relação é
Passo 7
Igualar as duas expressões para
e resolver para
:
Levar os termos em
para o mesmo lado:
Isolando
:
Converter para gramas (opcional):
Passo 8
Interpretação rápida e incentivo: a massa encontrada é relativamente pequena (50 g), o que faz sentido para uma bola que aquece alguns graus com a energia liberada na colisão. Mandou bem em pedir passo a passo — na prova, memorize: trabalho aumenta a energia cinética, depois aplique as frações de energia transformada e a fórmula
para relacionar com massa.