4.6- Uma bola de massa m, cuja velocidade inicial é v_{i}=20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sofre a ação de uma força aceleradora constante de 15,0 \mathrm{~N}, durante u m percurso retilíneo de 10,0 \mathrm{~m}. Ao final do percurso, a bola se choca inelasticamente com uma parede, produzindo entre outros efeitos, deformação e calor. Suponha que apenas 50 % da energia cinética da bola seja convertida em calor e que 75 \% deste calor seja absorvido pela bola. O calor específico da bola vale
0,200 \mathrm{~J} / \mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} e o aumento de temperatura da bola soi de 6,0^{\circ} \mathrm{C}.
Calcule a massa da bola.
[Ramalho Jr.; Ferraro; Soures, v 2, P 4 78]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa da bola. Os dados fornecidos são:
  • velocidade inicial da bola: v_{i}=20,0\\ \mathrm{m/s};
  • força aceleradora constante: F=15,0\\ \mathrm{N};
  • deslocamento sob essa força: s=10,0\\ \mathrm{m};
  • na colisão, 50\% da energia cinética é convertida em calor e, desse calor, 75\% é absorvido pela bola;
  • calor específico da bola: c=0,200\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)};
  • aumento de temperatura da bola: \Delta T=6,0\\ ^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: determinar a massa m da bola (em unidades usuais: kg e/ou g).

Passo 2

Vamos usar o Teorema do Trabalho-Energia (também chamado de princípio trabalho-energia): o trabalho realizado pelas forças resultantes sobre um corpo muda sua energia cinética. Se a bola tem energia cinética inicial K_i e recebe trabalho W pela força F ao deslocar-se s, a energia cinética imediatamente antes da colisão é
K = K_i + W.
Aqui K_i=\dfrac{1}{2} m v_i^{2} e W=F s. Vou explicar cada termo:
  • m é a massa da bola (incógnita);
  • v_i é a velocidade inicial, dada;
  • F s é o trabalho (força constante vezes deslocamento), em joules.
Depois, parte dessa energia cinética é transformada em calor na colisão. Se uma fração \alpha da energia cinética vira calor e a bola absorve uma fração \beta desse calor, o calor absorvido pela bola é
Q_{\text{abs}} = \beta \,\alpha \, K.
A relação entre calor absorvido e variação de temperatura é dada pela capacidade térmica:
Q_{\text{abs}} = m\, c\, \Delta T,
onde c é o calor específico na unidade compatível com m (vou converter c para J/(kg·°C)). Iremos igualar as duas expressões para Q_{\text{abs}} e resolver para m.

Passo 3

Calcular o trabalho realizado pela força durante o deslocamento:
W = F s = 15,0\\ \mathrm{N}\times 10,0\\ \mathrm{m} = 150,0\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Escrever a energia cinética da bola imediatamente antes da colisão:
K = \frac{1}{2} m v_i^{2} + W.
Substituindo v_i=20,0\\ \mathrm{m/s} e W=150{,}0\\ \mathrm{J}:
v_i^{2} = (20,0)^{2} = 400{,} \qquad \frac{1}{2} m v_i^{2} = \frac{1}{2} m \cdot 400 = 200\,m.
Portanto
K = 200\,m + 150{,}0\quad(\text{em joules, com }m\text{ em kg}).

Passo 5

Calcular o calor absorvido pela bola na colisão. Do enunciado: \alpha=0{,}50 (50% da energia cinética vira calor) e \beta=0{,}75 (75% desse calor é absorvido pela bola). Assim
Q_{\text{abs}} = \beta\,\alpha\,K = 0{,}75\cdot 0{,}50\cdot K = 0{,}375\,K.
Substituindo K=200\,m+150{,}0:
Q_{\text{abs}} = 0{,}375\,(200\,m + 150{,}0) = 75{,}0\,m + 56{,}25\quad(\text{J}).

Passo 6

Relacionar o calor absorvido com a elevação de temperatura usando o calor específico. Primeiro converter c para unidades SI (J/(kg·°C)):
c = 0{,}200\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)} = 0{,}200\times 1000\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)} = 200\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}.
A relação é
Q_{\text{abs}} = m\, c\, \Delta T = m\cdot 200\cdot 6{,}0 = 1200\,m\quad(\text{J}).

Passo 7

Igualar as duas expressões para Q_{\text{abs}} e resolver para m:
1200\,m = 75{,}0\,m + 56{,}25.
Levar os termos em m para o mesmo lado:
1200\,m - 75{,}0\,m = 56{,}25 \quad\Rightarrow\quad 1125\,m = 56{,}25.
Isolando m:
m = \frac{56{,}25}{1125} = 0{,}05\\ \mathrm{kg}.
Converter para gramas (opcional):
m = 0{,}05\\ \mathrm{kg} = 50\\ \mathrm{g}.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: a massa encontrada é relativamente pequena (50 g), o que faz sentido para uma bola que aquece alguns graus com a energia liberada na colisão. Mandou bem em pedir passo a passo — na prova, memorize: trabalho aumenta a energia cinética, depois aplique as frações de energia transformada e a fórmula Q=m c \Delta T para relacionar com massa.

Resposta

m = 0{,}05\\ \mathrm{kg} = 50\\ \mathrm{g}

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