4.7- Um recipiente de capacidade térmica desprezível contém 1000 g de um líquido extremamente viscoso. Dispara-se um projétil de 20,0 \mathrm{~g} que, ao penetrar no líquido, vai rapidamente ao repouso. Verifica-se entāo que a temperatura do líquido sofre um acréscimo de 3,0^{\circ} \mathrm{C}. O calor específico do líquido é 3,0 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a velocidade, em \mathrm{m} / \mathrm{s} com que o projétil penetra no líquido.
[Ramalho Jr.; Ferraro; Soares, v. 2, P 4.80]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Massa do líquido: 1\,000\\ \mathrm{g}.
  • Massa do projétil: 20,0\\ \mathrm{g}.
  • A temperatura do líquido aumenta: \Delta T = 3,0^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico do líquido: c = 3,0\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.
  • O recipiente tem capacidade térmica desprezível (logo não absorve calor relevante).
O enunciado pede: calcular a velocidade do projétil, em \mathrm{m/s}, com que penetra no líquido.

Passo 2

Entendimento físico básico (idéia a usar na prova).
Quando o projétil penetra e vai rapidamente ao repouso no líquido extremamente viscoso, sua energia cinética é dissipada pelo atrito viscoso e transformada em calor que aquece o líquido. Assim, podemos usar a conservação de energia na forma: a energia cinética inicial do projétil vira calor absorvido pelo líquido (desprezando outras perdas). Em fórmula isso será:
\text{energia cinética do projétil} = \text{calor absorvido pelo líquido}.ééí
Vou agora mostrar as fórmulas que representam essas duas quantidades.

Passo 3

Fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo).
  • Energia cinética de um corpo de massa m que se move com velocidade v:
K = \tfrac{1}{2} m v^2,
onde K é a energia em joules, m em quilogramas e v em metros por segundo.
  • Calor necessário para elevar a temperatura de uma massa m de substância com calor específico c em \Delta T:
Q = m c \Delta T,
onde Q é o calor em joules, m em quilogramas, c em \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)} e \Delta T em ^\circ\mathrm{C}.
A hipótese de trabalho (comum nesta classe de exercícios): toda a energia cinética do projétil transforma-se em calor absorvido pelo líquido, ou seja,
\tfrac{1}{2} m_{\text{p}} v^2 = m_{\ell} c \Delta T,
onde m_{\text{p}} é a massa do projétil e m_{\ell} é a massa do líquido.

Passo 4

Conversão de unidades (passo importante para fazer as contas corretamente).
As massas foram dadas em gramas; a fórmula usa quilogramas. Converto:
1\,000\\ \mathrm{g} = 1,0\\ \mathrm{kg}, \qquad 20,0\\ \mathrm{g} = 0,020\\ \mathrm{kg}.
Vou usar m_{\ell}=1,0\\ \mathrm{kg} e m_{\text{p}}=0,020\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular o calor absorvido pelo líquido (usar Q = m_{\ell} c \Delta T).
Substituindo os valores (explico a multiplicação passo a passo):
Q = m_{\ell} c \Delta T = (1,0\\ \mathrm{kg})\cdot(3,0\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)})\cdot(3,0^\circ\mathrm{C}).
Multiplicando em etapas: 3,0\cdot 3,0 = 9,0. Portanto
Q = 9,0\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o projétil teve que entregar 9{,}0\\ \mathrm{J} de energia para aquecer o líquido em 3{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Relacionar energia cinética com o calor e isolar v.
Partindo de
\tfrac{1}{2} m_{\text{p}} v^2 = Q,
isolamos v:
v^2 = \frac{2Q}{m_{\text{p}}} \qquad\Rightarrow\qquad v = \sqrt{\frac{2Q}{m_{\text{p}}}}.
Aqui Q já calculado em joules e m_{\text{p}} em quilogramas — as unidades resultam em \mathrm{m^2/s^2} sob a raiz, e portanto v em \mathrm{m/s}.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular v.
Usando Q=9{,}0\\ \mathrm{J} e m_{\text{p}}=0{,}020\\ \mathrm{kg}:
v = \sqrt{\frac{2\cdot 9{,}0}{0{,}020}} = \sqrt{\frac{18{,}0}{0{,}020}}.
Calculo interno: 18{,}0/0{,}020 = 900. Logo
v = \sqrt{900} = 30\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Verificação rápida e comentário (ajuda na prova).
  • Unidade: dentro da raiz ficou \mathrm{J/kg} = \mathrm{(kg\cdot m^2/s^2)/kg} = \mathrm{m^2/s^2}, então a raiz dá \mathrm{m/s} — consistente.
  • Valor plausível: 30\\ \mathrm{m/s} é uma velocidade moderada (cerca de 108\\ \mathrm{km/h}), razoável para um projétil pequeno; ordem de grandeza faz sentido visto que a massa do projétil é muito menor que a do líquido, então poucos joules aquecem o líquido pouco.
Observação sobre hipótese: foi assumido que toda a energia cinética virou calor no líquido (não houve perdas para o recipiente, som do impacto, deformação plástica significativa, nem aquecimento do próprio projétil em medida relevante). O enunciado que diz “capacidade térmica desprezível do recipiente” reforça a intenção dessa hipótese.

Resposta

30\\ \mathrm{m/s}

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