4.7- Um recipiente de capacidade térmica desprezível contém 1000 g de um líquido extremamente viscoso. Dispara-se um projétil de
que, ao penetrar no líquido, vai rapidamente ao repouso. Verifica-se entāo que a temperatura do líquido sofre um acréscimo de
. O calor específico do líquido é
. Calcule a velocidade, em
com que o projétil penetra no líquido.
[Ramalho Jr.; Ferraro; Soares, v. 2, P 4.80]
[Ramalho Jr.; Ferraro; Soares, v. 2, P 4.80]
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- Massa do líquido:
. - Massa do projétil:
. - A temperatura do líquido aumenta:
. - Calor específico do líquido:
. - O recipiente tem capacidade térmica desprezível (logo não absorve calor relevante).
O enunciado pede: calcular a velocidade do projétil, em
, com que penetra no líquido.
Passo 2
Entendimento físico básico (idéia a usar na prova).
Quando o projétil penetra e vai rapidamente ao repouso no líquido extremamente viscoso, sua energia cinética é dissipada pelo atrito viscoso e transformada em calor que aquece o líquido. Assim, podemos usar a conservação de energia na forma: a energia cinética inicial do projétil vira calor absorvido pelo líquido (desprezando outras perdas). Em fórmula isso será:
Vou agora mostrar as fórmulas que representam essas duas quantidades.
Passo 3
Fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo).
- Energia cinética de um corpo de massa
que se move com velocidade :
onde
é a energia em joules,
em quilogramas e
em metros por segundo.
- Calor necessário para elevar a temperatura de uma massa
de substância com calor específico em :
onde
é o calor em joules,
em quilogramas,
em
e
em
.
A hipótese de trabalho (comum nesta classe de exercícios): toda a energia cinética do projétil transforma-se em calor absorvido pelo líquido, ou seja,
onde
é a massa do projétil e
é a massa do líquido.
Passo 4
Conversão de unidades (passo importante para fazer as contas corretamente).
As massas foram dadas em gramas; a fórmula usa quilogramas. Converto:
Vou usar
e
.
Passo 5
Calcular o calor absorvido pelo líquido (usar
).
Substituindo os valores (explico a multiplicação passo a passo):
Multiplicando em etapas:
. Portanto
Interpretação: o projétil teve que entregar
de energia para aquecer o líquido em
.
Passo 6
Relacionar energia cinética com o calor e isolar
.
Partindo de
isolamos
:
Aqui
já calculado em joules e
em quilogramas — as unidades resultam em
sob a raiz, e portanto
em
.
Passo 7
Substituir os valores numéricos e calcular
.
Usando
e
:
Calculo interno:
. Logo
Passo 8
Verificação rápida e comentário (ajuda na prova).
- Unidade: dentro da raiz ficou
, então a raiz dá — consistente. - Valor plausível:
é uma velocidade moderada (cerca de ), razoável para um projétil pequeno; ordem de grandeza faz sentido visto que a massa do projétil é muito menor que a do líquido, então poucos joules aquecem o líquido pouco.
Observação sobre hipótese: foi assumido que toda a energia cinética virou calor no líquido (não houve perdas para o recipiente, som do impacto, deformação plástica significativa, nem aquecimento do próprio projétil em medida relevante). O enunciado que diz “capacidade térmica desprezível do recipiente” reforça a intenção dessa hipótese.