1. A perda de pressão na cabine de um avião voando a aproximadamente 11 km de altitude representa um risco sério, já que o ar tão rarefeito nessa região da atmosfera pode ser fatal. Suponha que o ar se comporte como um gás ideal. Ao nível do mar, a pressão e a temperatura são 1 atm e 27^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Já a 11 km , esses valores caem para 2 \times 10^{4} \mathrm{~Pa} e -73^{\circ} \mathrm{C}. Com base nesses dados, determine a razão entre a densidade do ar nessa altitude ( \rho_{A} ) e a densidade do ar ao nível do mar ( \rho_{M} ).

Passo 1

O problema pede a razão entre a densidade do ar a 11 km de altitude e a densidade do ar ao nível do mar, ou seja, queremos calcular \dfrac{\rho_A}{\rho_M}. Dados fornecidos:
P_M = 1\\ \text{atm},\quad T_M = 27^\circ\mathrm{C},
P_A = 2\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa},\quad T_A = -73^\circ\mathrm{C}.
Também usaremos a equivalência padrão
1\\ \text{atm} = 1{,}013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Vamos usar a lei dos gases ideais e relacioná-la com a densidade. A lei dos gases ideais é
PV = nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura em kelvin. Se M é a massa molar do ar e m a massa total de ar no volume V, então m = nM. A densidade é \rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{nM}{V}. Substituindo n/V a partir de PV=nRT obtemos
\rho = \dfrac{PM}{RT}.
Para o mesmo tipo de ar a massa molar M e a constante R são iguais em ambos os casos, portanto, ao tomar a razão das densidades os fatores M e R cancelam, ficando
\frac{\rho_A}{\rho_M} = \frac{P_A/T_A}{P_M/T_M} = \frac{P_A\,T_M}{P_M\,T_A}.
Essa igualdade mostra que, para um gás ideal do mesmo tipo, a densidade é proporcional a P/T.

Passo 3

Converter as temperaturas para kelvin, pois a lei dos gases exige T em kelvin:
T_M = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K},
T_A = -73^\circ\mathrm{C} = -73 + 273 = 200\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Substituímos os valores na fórmula da razão:
P_M = 1{,}013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa},\quad P_A = 2\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa},
\frac{\rho_A}{\rho_M} = \frac{(2\times 10^{4})\cdot 300}{(1{,}013\times 10^{5})\cdot 200}.

Passo 5

Fazendo as contas passo a passo:
\text{numerador} = 2\times 10^{4}\times 300 = 6\times 10^{6},
\text{denominador} = 1{,}013\times 10^{5}\times 200 = 2{,}026\times 10^{7}.
Portanto
\frac{\rho_A}{\rho_M} = \frac{6\times 10^{6}}{2{,}026\times 10^{7}} = \frac{6}{2{,}026}\times 10^{-1}\approx 0{,}2965.

Passo 6

Arredondando de maneira conveniente (3 algarismos significativos) e interpretando: a densidade do ar a 11 km é cerca de 29{,}7\% da densidade ao nível do mar — ou seja, aproximadamente 0{,}297 vezes a densidade ao nível do mar. Respira fundo: é por isso que perder pressão em altitude é tão perigoso!

Resposta

\dfrac{\rho_{A}}{\rho_{M}} \approx 0{,}297

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