Uma bola de massa m=5,0 \mathrm{~kg} é abandonada do repouso de cima de um prédio de altura H=17 \mathrm{~m}.
(a) Qual será o momento angular da bola, quando estiver prestes a tocar o chão, em relação a um ponto no topo de um outro prédio (de mesma altura) localizado do outro lado de uma rua de largura D=3,5 \mathrm{~m} ?
(b) Qual será o torque da bola em relação a mesmo ponto no topo do prédio vizinho ao do lançamento da bola?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes valores no enunciado):
    • massa da bola: m=5,0\\ \mathrm{kg}.
    • altura do prédio de onde a bola é abandonada: H=17\\ \mathrm{m}.
    • largura da rua entre os prédios: D=3,5\\ \mathrm{m}.
    • a bola é abandonada do repouso (velocidade inicial vertical nula).
  • O enunciado pede:
    (a) o momento angular da bola, quando estiver prestes a tocar o chão, em relação a um ponto localizado no topo do prédio vizinho (mesma altura) do outro lado da rua;
    (b) o torque da bola em relação ao mesmo ponto do topo do prédio vizinho.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e representar vetores de forma simples (isso facilita o cálculo com produto vetorial).
  • Coloco a origem no ponto no topo do prédio vizinho (o ponto em relação ao qual queremos momento angular e torque).
  • Eixos:
    • eixo x horizontal, apontando do ponto da origem em direção ao local de queda da bola (através da rua);
    • eixo y vertical, positivo para cima;
    • eixo z seguindo a regra direita ( x\times y = z).
  • Posição da bola, pouco antes de tocar o chão:
    • a bola está horizontalmente afastada da origem por D e verticalmente a uma distância -H (pois o chão fica H abaixo do topo).
    • portanto o vetor posição é \mathbf{r}=D\,\mathbf{i}-H\,\mathbf{j}.
  • Força peso atuando na bola (sempre vertical para baixo): \mathbf{F}=-m g\,\mathbf{j}. Vou usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Calcular a velocidade da bola pouco antes de tocar o chão (módulo da velocidade vertical). Explico a fórmula usada:
  • Para queda livre a partir do repouso vale a equação cinemática sem resistência do ar
v^{2}=v_{0}^{2}+2g\Delta y,
onde v é a velocidade ao final, v_{0} é a velocidade inicial (aqui zero), g é a aceleração da gravidade e \Delta y é a variação vertical (aqui H). Aplicando:
v=\sqrt{2 g H}.
  • Substituindo os números:
v=\sqrt{2\cdot 9,8\cdot 17}=\sqrt{333,2}\approx 18,257\\ \mathrm{m/s}.
  • A velocidade é vertical para baixo, então o vetor quantidade de movimento (momentum linear) é
\mathbf{p}=m\mathbf{v}=-m v\,\mathbf{j}.

Passo 4

Calcular o momento angular da bola em relação à origem usando a definição e explicar passo a passo.
  • Definição de momento angular (vetorial) de uma partícula em relação a um ponto: \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}.
    • Aqui \mathbf{r}=D\,\mathbf{i}-H\,\mathbf{j}.
    • \mathbf{p}=-m v\,\mathbf{j}.
  • Calculo do produto vetorial (fazendo termo a termo):
\mathbf{L}=(D\,\mathbf{i}-H\,\mathbf{j})\times(-m v\,\mathbf{j}).
O termo com \mathbf{j}\times\mathbf{j} é zero, então sobra apenas
\mathbf{L}=D\,\mathbf{i}\times(-m v\,\mathbf{j})=-D m v\,(\mathbf{i}\times\mathbf{j}).
Como \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}, temos
\mathbf{L}=-D m v\,\mathbf{k}.
  • Magnitude e sinal: o módulo é |\mathbf{L}|=m v D e a direção é -\mathbf{k} (usando a regra da mão direita; isso significa “para dentro da página” se x é para a direita e y para cima).
  • Substituindo valores (usei o v calculado no Passo 3):
|\mathbf{L}|=m v D = 5,0\cdot 18,257\cdot 3,5 \approx 319,5\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
  • Arredondando com três algarismos significativos:
|\mathbf{L}|\approx 3,20\times 10^{2}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}
e o vetor é
\mathbf{L}\approx -3,20\times 10^{2}\,\mathbf{k}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.

Passo 5

Calcular o torque da bola em relação ao mesmo ponto e explicar por que é assim.
  • Definição de torque (momento de força) em relação à origem: \boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
    • Aqui \mathbf{F}=-m g\,\mathbf{j}.
    • \mathbf{r}=D\,\mathbf{i}-H\,\mathbf{j}.
  • Fazer o produto vetorial:
\boldsymbol{\tau}=(D\,\mathbf{i}-H\,\mathbf{j})\times(-m g\,\mathbf{j}).
Novamente o termo com \mathbf{j}\times\mathbf{j} é zero, restando
\boldsymbol{\tau}=D\,\mathbf{i}\times(-m g\,\mathbf{j})=-D m g\,(\mathbf{i}\times\mathbf{j})=-D m g\,\mathbf{k}.
  • Magnitude:
|\boldsymbol{\tau}|=m g D.
  • Substituindo valores:
|\boldsymbol{\tau}|=5,0\cdot 9,8\cdot 3,5=171,5\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Direção: \boldsymbol{\tau}=-171,5\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N\cdot m} (mesma orientação -\mathbf{k} que \mathbf{L} no Passo 4).
  • Observação física útil: como \boldsymbol{\tau}=\dfrac{d\mathbf{L}}{dt}, e como \mathbf{L}=-m D v\,\mathbf{k}, tem-se
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=-m D\frac{dv}{dt}\mathbf{k}=-m D g\,\mathbf{k},
o que coincide com \boldsymbol{\tau}. Isso mostra que o torque é constante (porque D e m são constantes e a força peso é constante) e explica por que \mathbf{L} cresce linearmente com v.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{L}=-3,20\times10^{2}\,\mathbf{k}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s} (módulo \;3,20\times10^{2}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}).
(b) \displaystyle \boldsymbol{\tau}=-1,715\times10^{2}\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N\cdot m} (módulo \;171,5\\ \mathrm{N\cdot m}).

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