Uma bola de massa
é abandonada do repouso de cima de um prédio de altura
.
(a) Qual será o momento angular da bola, quando estiver prestes a tocar o chão, em relação a um ponto no topo de um outro prédio (de mesma altura) localizado do outro lado de uma rua de largura
?
(b) Qual será o torque da bola em relação a mesmo ponto no topo do prédio vizinho ao do lançamento da bola?
(a) Qual será o momento angular da bola, quando estiver prestes a tocar o chão, em relação a um ponto no topo de um outro prédio (de mesma altura) localizado do outro lado de uma rua de largura
(b) Qual será o torque da bola em relação a mesmo ponto no topo do prédio vizinho ao do lançamento da bola?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (peguei estes valores no enunciado):
- massa da bola:
. - altura do prédio de onde a bola é abandonada:
. - largura da rua entre os prédios:
. - a bola é abandonada do repouso (velocidade inicial vertical nula).
- massa da bola:
- O enunciado pede:
(a) o momento angular da bola, quando estiver prestes a tocar o chão, em relação a um ponto localizado no topo do prédio vizinho (mesma altura) do outro lado da rua;
(b) o torque da bola em relação ao mesmo ponto do topo do prédio vizinho.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e representar vetores de forma simples (isso facilita o cálculo com produto vetorial).
- Coloco a origem no ponto no topo do prédio vizinho (o ponto em relação ao qual queremos momento angular e torque).
- Eixos:
- eixo
horizontal, apontando do ponto da origem em direção ao local de queda da bola (através da rua); - eixo
vertical, positivo para cima; - eixo
seguindo a regra direita ( ).
- eixo
- Posição da bola, pouco antes de tocar o chão:
- a bola está horizontalmente afastada da origem por
e verticalmente a uma distância (pois o chão fica abaixo do topo). - portanto o vetor posição é
.
- a bola está horizontalmente afastada da origem por
- Força peso atuando na bola (sempre vertical para baixo):
. Vou usar .
Passo 3
Calcular a velocidade da bola pouco antes de tocar o chão (módulo da velocidade vertical). Explico a fórmula usada:
- Para queda livre a partir do repouso vale a equação cinemática sem resistência do ar
onde
é a velocidade ao final,
é a velocidade inicial (aqui zero),
é a aceleração da gravidade e
é a variação vertical (aqui
). Aplicando:
- Substituindo os números:
- A velocidade é vertical para baixo, então o vetor quantidade de movimento (momentum linear) é
Passo 4
Calcular o momento angular da bola em relação à origem usando a definição e explicar passo a passo.
- Definição de momento angular (vetorial) de uma partícula em relação a um ponto:
. - Aqui
. -
.
- Aqui
- Calculo do produto vetorial (fazendo termo a termo):
O termo com
é zero, então sobra apenas
Como
, temos
- Magnitude e sinal: o módulo é
e a direção é (usando a regra da mão direita; isso significa “para dentro da página” se é para a direita e para cima). - Substituindo valores (usei o
calculado no Passo 3):
- Arredondando com três algarismos significativos:
e o vetor é
Passo 5
Calcular o torque da bola em relação ao mesmo ponto e explicar por que é assim.
- Definição de torque (momento de força) em relação à origem:
. - Aqui
. -
.
- Aqui
- Fazer o produto vetorial:
Novamente o termo com
é zero, restando
- Magnitude:
- Substituindo valores:
- Direção:
(mesma orientação que no Passo 4). - Observação física útil: como
, e como , tem-se
o que coincide com
. Isso mostra que o torque é constante (porque
e
são constantes e a força peso é constante) e explica por que
cresce linearmente com
.
Resposta
(a)
(módulo
).
(b) (módulo
).
(b)