Um homem parado numa plataforma que gira (sem atrito) com velocidade angular 1,2 rad/s está com os braços abertos segurando um peso em cada uma das mãos. A inércia rotacional do sistema (homem+plataforma+pesos) é
. Se, ao encolher os braços junto ao corpo, o homem muda a inércia rotacional do sistema para
.(a) Qual será a nova velocidade angular da plataforma?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados:
- Velocidade angular inicial:
. - Inércia rotacional inicial:
. - Inércia rotacional final (após encolher os braços):
.
O que o problema pede:
- Calcular a nova velocidade angular
da plataforma (ou seja, depois que a inércia mudou para ).
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo):
- Para um sistema que gira em torno de um eixo fixo sem torque externo (a plataforma gira sem atrito), o momento angular total é conservado.
- O momento angular de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo é dado por
, onde: -
é o momento angular (unidade ), -
é a inércia rotacional ou momento de inércia (unidade ), -
é a velocidade angular (unidade ).
-
- Se não há torque externo, então o momento angular inicial iguala o final:
Explicando em palavras: como não há forças externas que apliquem torque, a quantidade de “giro” do sistema (momento angular) só pode se rearranjar internamente; muda a velocidade quando muda a distribuição de massa.
Passo 3
Isolando a incógnita
na igualdade de conservação do momento angular:
Aqui cada símbolo já foi definido: substituir valores numéricos é o próximo passo.
Passo 4
Substituindo os valores fornecidos:
- Primeiro calcule o produto no numerador:
- Agora divida por
:
Para facilitar a divisão sem calculadora, multiplica-se numerador e denominador por
:
Fazendo a divisão:
Arredondando de forma adequada (dados têm, em geral, três algarismos significativos), fica
Passo 5
Comentário físico útil (para entender o que acontece na prova):
- A velocidade angular aumentou muito porque a inércia diminuiu ao encolher os braços; é análogo a uma patinadora que puxa os braços e gira mais rápido.
- Observe que a energia cinética rotacional não é conservada aqui: o trabalho realizado pelo homem ao puxar os braços (forças internas que fazem trabalho) aumenta a energia rotacional do sistema. Se quiser, dá para calcular as energias:
- A diferença
é igual ao trabalho que o homem fez ao aproximar os pesos do corpo.