Um homem parado numa plataforma que gira (sem atrito) com velocidade angular 1,2 rad/s está com os braços abertos segurando um peso em cada uma das mãos. A inércia rotacional do sistema (homem+plataforma+pesos) é 12,0 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}. Se, ao encolher os braços junto ao corpo, o homem muda a inércia rotacional do sistema para 1,1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}.(a) Qual será a nova velocidade angular da plataforma?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Velocidade angular inicial: \omega_i = 1,2\\ \mathrm{rad/s}.
  • Inércia rotacional inicial: I_i = 12,0\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.
  • Inércia rotacional final (após encolher os braços): I_f = 1,1\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.
O que o problema pede:
  • Calcular a nova velocidade angular \omega_f da plataforma (ou seja, depois que a inércia mudou para I_f).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Para um sistema que gira em torno de um eixo fixo sem torque externo (a plataforma gira sem atrito), o momento angular total é conservado.
  • O momento angular de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo é dado por \displaystyle L = I\,\omega, onde:
    • \displaystyle L é o momento angular (unidade \mathrm{kg\,m^{2}/s}),
    • \displaystyle I é a inércia rotacional ou momento de inércia (unidade \mathrm{kg\,m^{2}}),
    • \displaystyle \omega é a velocidade angular (unidade \mathrm{rad/s}).
  • Se não há torque externo, então o momento angular inicial iguala o final: I_i\,\omega_i = I_f\,\omega_f.
Explicando em palavras: como não há forças externas que apliquem torque, a quantidade de “giro” do sistema (momento angular) só pode se rearranjar internamente; muda a velocidade quando muda a distribuição de massa.

Passo 3

Isolando a incógnita \omega_f na igualdade de conservação do momento angular:
\omega_f = \frac{I_i\,\omega_i}{I_f}.
Aqui cada símbolo já foi definido: substituir valores numéricos é o próximo passo.

Passo 4

Substituindo os valores fornecidos:
  • Primeiro calcule o produto no numerador: I_i\,\omega_i = (12,0)\times(1,2) = 14,4\\ \mathrm{kg\,m^{2}/s}.
  • Agora divida por I_f: \omega_f = \frac{14,4}{1,1}.
Para facilitar a divisão sem calculadora, multiplica-se numerador e denominador por 10:
\omega_f = \frac{144}{11}.
Fazendo a divisão:
\frac{144}{11} = 13,090909\ldots
Arredondando de forma adequada (dados têm, em geral, três algarismos significativos), fica
\omega_f \approx 13,1\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Comentário físico útil (para entender o que acontece na prova):
  • A velocidade angular aumentou muito porque a inércia diminuiu ao encolher os braços; é análogo a uma patinadora que puxa os braços e gira mais rápido.
  • Observe que a energia cinética rotacional não é conservada aqui: o trabalho realizado pelo homem ao puxar os braços (forças internas que fazem trabalho) aumenta a energia rotacional do sistema. Se quiser, dá para calcular as energias: K_i=\tfrac{1}{2}I_i\omega_i^{2}=\tfrac{1}{2}\times12,0\times(1,2)^{2}=8,64\\ \mathrm{J},
K_f=\tfrac{1}{2}I_f\omega_f^{2}\approx\tfrac{1}{2}\times1,1\times(13,0909)^{2}\approx94,3\\ \mathrm{J}.
  • A diferença K_f-K_i é igual ao trabalho que o homem fez ao aproximar os pesos do corpo.

Resposta

\omega_f \approx 13,1\\ \mathrm{rad/s}

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