O satélite Amazônia-1 de comprimento
, massa
fica a uma distância
752 km acima da superfície da Terra.
Ele é o primeiro satélite com tecnologia 100% brasileira desenvolvido no Instituto Nacional de Pesquisas Espacias (INPE) e no Lab. de Integração e testes (LIT).
Ele é capaz de gerar imagens de qualquer ponto do planeta Terra a cada 5 dias.
Sabemos que:
-
.
- Centro da Lua está a uma distância
.
- O período de rotação da Lua ao redor da Terra é de 27 dias 7 h 43 min.
- Massa da Terra,
e raio da Terra,
.
Considere:
- que a órbita do satélite Amazônia-1 ao redor da Terra é CIRCULAR.
- que a órbita da Lua ao redor da Terra é CIRCULAR.
Com base nessas informações calcule:
(A) Qual velocidade
(mínima) que o satélite teve que adquirir para romper a ligação gravitacional com a superfície da Terra?
(B) Qual é o período de rotação
do satélite Amazônia-1 ao redor da Terra?
(C) Quantas voltas o satélite dá ao redor da Terra num período de 24 h ?
(D) Qual é a velocidade
(na órbita) do satélite Amazônia-1 ao redor da Terra?
(E) Qual é a razão (
) entre o período de rotação do satélite Amazônia-1 e o período de rotação da Lua (ambos em órbita ao redor da Terra)?
(F) Qual é a razão (
) entre a velocidade do satélite Amazônia-1 e a velocidade da Lua (ambos em órbita ao redor da Terra)?
Sabemos que:
(A) Qual velocidade
(B) Qual é o período de rotação
(C) Quantas voltas o satélite dá ao redor da Terra num período de 24 h ?
(D) Qual é a velocidade
(E) Qual é a razão (
(F) Qual é a razão (
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados do enunciado:
- Constante gravitacional:
. - Massa da Terra:
. - Raio da Terra:
. - Altura do satélite acima da superfície:
. - Comprimento e massa do satélite fornecidos, mas não necessários para as quantidades orbitais pedidas:
, . - Distância Terra–Lua:
. - Período de rotação da Lua:
(vai ser convertido para segundos quando necessário).
Quantidades que precisamos calcular:
(A) Velocidade mínima que o satélite teve que adquirir para romper a ligação gravitacional com a superfície da Terra (escape a partir da superfície).
(B) Período de rotação do satélite Amazônia-1 em órbita circular.
(C) Quantas voltas o satélite dá em 24 h.
(D) Velocidade orbital do satélite na órbita circular.
(E) Razão entre o período da Lua e o do satélite.
(F) Razão entre as velocidades orbitais do satélite e da Lua.
(A) Velocidade mínima
(B) Período de rotação
(C) Quantas voltas o satélite dá em 24 h.
(D) Velocidade orbital
(E) Razão
(F) Razão
Observação importante antes de começar: para órbitas circulares vamos usar as fórmulas da gravitação newtoniana com o potencial da Terra tratada como proveniente de uma massa pontual
concentrada no centro. A órbita do satélite tem raio
.
Passo 2
(A) Fórmula da velocidade de escape e sua dedução básica (aulas rápidas de física espacial).
Conceito: a velocidade de escape a partir da superfície é a menor velocidade inicial tal que a energia mecânica total (cinética + potencial gravitacional) seja maior ou igual a zero no infinito. Usando conservação de energia entre a superfície (
) e
e exigindo energia total zero no limite, obtemos:
Aqui
é a massa do satélite (cancela na equação). Resolvendo para
:
Explicando as variáveis:
-
é a constante gravitacional; -
é a massa da Terra; -
é o raio da Terra (distância do centro da Terra até a superfície).
Agora calculo numericamente. Primeiro calculei
:
Substituindo em
com
:
Convertendo para km/s:
Passo 3
(B) Cálculo do período
do satélite em órbita circular e explicação da fórmula.
Para uma órbita circular a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta:
onde
é o raio da órbita (distância do centro da Terra até o satélite) e
é a velocidade orbital. Cancelando
e rearranjando:
O período
relaciona-se com
por
. Substituindo
na expressão do período obtemos a forma prática:
Explicando variáveis:
-
: raio da órbita (m); -
: parâmetro gravitacional da Terra (m3/s2).
Calculemos numericamente:
(Em notação científica:
.)
Agora:
(para consistência em potências:
é
; vou usar
.)
Calculei
e apliquei a fórmula:
Numericamente isso dá
(Dica de prova: é suficiente lembrar da fórmula
.)
Passo 4
(C) Quantas voltas em 24 h.
Um dia tem
. O número de órbitas completas em 24 h é
Portanto o satélite dá aproximadamente
voltas em 24 h (ou seja, 14 voltas inteiras e parte de outra).
Passo 5
(D) Velocidade orbital
do satélite (reapresentando a fórmula e calculando).
Usando a relação já apresentada:
Substituindo valores:
Convertendo:
(Confirmação rápida: também vale
, que dá o mesmo valor.)
Passo 6
(E) Razão
entre o período da Lua e o período do satélite.
Primeiro converter o período da Lua
para segundos.
Passos de conversão:
-
dias . -
horas . -
minutos .
Somando:
Agora a razão:
Isso significa que a Lua leva cerca de
vezes o período do satélite para completar uma volta.
Passo 7
(F) Razão
entre velocidades orbitais do satélite e da Lua.
Primeiro calcular a velocidade orbital média da Lua
(assumindo órbita circular de raio
) usando
Numericamente:
(É conhecido que a velocidade orbital média da Lua fica em torno de
km/s.)
Agora a razão:
Interpretação rápida: o satélite é cerca de
vezes mais rápido que a Lua em sua órbita.
Resposta
(A)
(B)
(C) voltas em 24 h
(D)
(E)
(F)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)