O satélite Amazônia-1 de comprimento \mathrm{L}=4 \mathrm{~m}, massa \mathrm{m}_{\mathrm{A}}=640 \mathrm{~kg} fica a uma distância \mathrm{h}_{\mathrm{A}}= 752 km acima da superfície da Terra.
Ele é o primeiro satélite com tecnologia 100% brasileira desenvolvido no Instituto Nacional de Pesquisas Espacias (INPE) e no Lab. de Integração e testes (LIT).
Ele é capaz de gerar imagens de qualquer ponto do planeta Terra a cada 5 dias.
Sabemos que:
  • \mathrm{G}=6,67 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}^{2} \mathrm{~kg}.
  • Centro da Lua está a uma distância \mathrm{R}_{\text {Terra-Lua }}=384,400 \mathrm{~km}.
  • O período de rotação da Lua ao redor da Terra é de 27 dias 7 h 43 min.
  • Massa da Terra, \mathrm{M}_{\text {Terra }}=5,98 \times 10^{24} \mathrm{~kg} e raio da Terra, \mathrm{R}_{\text {Terra }}=6370 \mathrm{~km}.
Considere:
  • que a órbita do satélite Amazônia-1 ao redor da Terra é CIRCULAR.
  • que a órbita da Lua ao redor da Terra é CIRCULAR.
Com base nessas informações calcule:
(A) Qual velocidade \mathrm{V}_{\text {min }} (mínima) que o satélite teve que adquirir para romper a ligação gravitacional com a superfície da Terra?
(B) Qual é o período de rotação \mathrm{T}_{\mathrm{A}} do satélite Amazônia-1 ao redor da Terra?
(C) Quantas voltas o satélite dá ao redor da Terra num período de 24 h ?
(D) Qual é a velocidade \mathrm{V}_{\mathrm{A}} (na órbita) do satélite Amazônia-1 ao redor da Terra?
(E) Qual é a razão ( T_{L} / T_{A} ) entre o período de rotação do satélite Amazônia-1 e o período de rotação da Lua (ambos em órbita ao redor da Terra)?
(F) Qual é a razão ( \mathrm{v}_{\mathrm{A}} / \mathrm{v}_{\mathrm{L}} ) entre a velocidade do satélite Amazônia-1 e a velocidade da Lua (ambos em órbita ao redor da Terra)?

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados do enunciado:
  • Constante gravitacional: G=6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}\,kg^{-1}}.
  • Massa da Terra: M_{\text{Terra}}=5{,}98\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
  • Raio da Terra: R_{\text{Terra}}=6370\\ \mathrm{km}=6{,}370\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
  • Altura do satélite acima da superfície: h_{A}=752\\ \mathrm{km}=7{,}52\times10^{5}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento e massa do satélite fornecidos, mas não necessários para as quantidades orbitais pedidas: L=4\\ \mathrm{m}, m_A=640\\ \mathrm{kg}.
  • Distância Terra–Lua: R_{\text{Terra-Lua}}=384{,}400\\ \mathrm{km}=3{,}844\times10^{8}\\ \mathrm{m}.
  • Período de rotação da Lua: T_{L}=27\\ \text{dias }7\\ \text{h }43\\ \text{min} (vai ser convertido para segundos quando necessário).
Quantidades que precisamos calcular:
(A) Velocidade mínima V_{\min} que o satélite teve que adquirir para romper a ligação gravitacional com a superfície da Terra (escape a partir da superfície).
(B) Período de rotação T_{A} do satélite Amazônia-1 em órbita circular.
(C) Quantas voltas o satélite dá em 24 h.
(D) Velocidade orbital V_{A} do satélite na órbita circular.
(E) Razão T_{L}/T_{A} entre o período da Lua e o do satélite.
(F) Razão v_{A}/v_{L} entre as velocidades orbitais do satélite e da Lua.
Observação importante antes de começar: para órbitas circulares vamos usar as fórmulas da gravitação newtoniana com o potencial da Terra tratada como proveniente de uma massa pontual M_{\text{Terra}} concentrada no centro. A órbita do satélite tem raio r_{A}=R_{\text{Terra}}+h_{A}.

Passo 2

(A) Fórmula da velocidade de escape e sua dedução básica (aulas rápidas de física espacial).
Conceito: a velocidade de escape a partir da superfície é a menor velocidade inicial tal que a energia mecânica total (cinética + potencial gravitacional) seja maior ou igual a zero no infinito. Usando conservação de energia entre a superfície ( r=R_{\text{Terra}}) e r\to\infty e exigindo energia total zero no limite, obtemos:
\frac{1}{2}mV_{\min}^{2}-\frac{G M_{\text{Terra}} m}{R_{\text{Terra}}}=0.
Aqui \,m é a massa do satélite (cancela na equação). Resolvendo para V_{\min}:
V_{\min}=\sqrt{\dfrac{2G M_{\text{Terra}}}{R_{\text{Terra}}}}.
Explicando as variáveis:
  • G é a constante gravitacional;
  • M_{\text{Terra}} é a massa da Terra;
  • R_{\text{Terra}} é o raio da Terra (distância do centro da Terra até a superfície).
Agora calculo numericamente. Primeiro calculei G M_{\text{Terra}}:
G M_{\text{Terra}}=(6{,}67\times10^{-11})\times(5{,}98\times10^{24})\approx3{,}986\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.
Substituindo em V_{\min} com R_{\text{Terra}}=6{,}370\times10^{3}\\ \mathrm{m}:
V_{\min}=\sqrt{\dfrac{2\times 3{,}986\times10^{14}}{6{,}370\times10^{3}}} =\sqrt{1{,}251\times10^{8}}\\ \mathrm{m/s}\approx1{,}118\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para km/s:
V_{\min}\approx11{,}18\\ \mathrm{km/s}\approx11{,}2\\ \mathrm{km/s}.

Passo 3

(B) Cálculo do período T_{A} do satélite em órbita circular e explicação da fórmula.
Para uma órbita circular a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta:
\frac{G M_{\text{Terra}} m}{r_{A}^{2}}=m\frac{v_{A}^{2}}{r_{A}},
onde r_{A}=R_{\text{Terra}}+h_{A} é o raio da órbita (distância do centro da Terra até o satélite) e v_{A} é a velocidade orbital. Cancelando m e rearranjando:
v_{A}=\sqrt{\dfrac{G M_{\text{Terra}}}{r_{A}}}.
O período T_{A} relaciona-se com v_{A} por T_{A}= \dfrac{2\pi r_{A}}{v_{A}}. Substituindo v_A na expressão do período obtemos a forma prática:
T_{A}=2\pi\sqrt{\dfrac{r_{A}^{3}}{G M_{\text{Terra}}}}.
Explicando variáveis:
  • r_{A}: raio da órbita (m);
  • G M_{\text{Terra}}: parâmetro gravitacional da Terra (m3/s2).
Calculemos numericamente:
r_{A}=R_{\text{Terra}}+h_{A}=(6{,}370+752)\\ \mathrm{km}=7{,}122\\ \mathrm{km}=7{,}122\times10^{3}\\ \mathrm{m}=7{,}122\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
(Em notação científica: r_A=7{,}122\times10^{3}\\ \mathrm{m}=7{,}122{,}000\\ \mathrm{m}=7,122\times10^{6}\\ \mathrm{m}.)
Agora:
r_{A}=7{,}122\times10^{3}\\ \mathrm{m}=7{,}122{,}000\\ \mathrm{m}=7{,}122\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
(para consistência em potências: r_A=7{,}122\times10^{3}\\ \mathrm{m}=7{,}122\times10^{3}\\ \mathrm{m} é 7{,}122\times10^{3}\\ \mathrm{m}; vou usar r_A=7{,}122\times10^{3}\\ \mathrm{m}=7{,}122{,}000\\ \mathrm{m}.)
Calculei r_{A}^{3} e apliquei a fórmula:
T_{A}=2\pi\sqrt{\dfrac{(7{,}122\times10^{3})^{3}}{3{,}986\times10^{14}}}.
Numericamente isso dá
T_{A}\approx5{,}979{,}7\\ \mathrm{s}\approx99{,}66\\ \mathrm{min}\approx1{,}661\\ \mathrm{h}.
(Dica de prova: é suficiente lembrar da fórmula T=2\pi\sqrt{r^{3}/(GM)}.)

Passo 4

(C) Quantas voltas em 24 h.
Um dia tem 24\\ \mathrm{h}=24\times3600=86{,}400\\ \mathrm{s}. O número de órbitas completas em 24 h é
N=\dfrac{86{,}400\\ \mathrm{s}}{T_{A}}=\dfrac{86{,}400}{5{,}979{,}7}\approx14{,}45.
Portanto o satélite dá aproximadamente 14{,}45 voltas em 24 h (ou seja, 14 voltas inteiras e parte de outra).

Passo 5

(D) Velocidade orbital V_{A} do satélite (reapresentando a fórmula e calculando).
Usando a relação já apresentada:
V_{A}=\sqrt{\dfrac{G M_{\text{Terra}}}{r_{A}}}.
Substituindo valores:
V_{A}=\sqrt{\dfrac{3{,}986\times10^{14}}{7{,}122\times10^{3}}} =\sqrt{5{,}596\times10^{7}}\\ \mathrm{m/s}\approx7{,}481\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo:
V_{A}\approx7{,}48\\ \mathrm{km/s}.
(Confirmação rápida: também vale V_{A}=2\pi r_{A}/T_{A}, que dá o mesmo valor.)

Passo 6

(E) Razão T_{L}/T_{A} entre o período da Lua e o período do satélite.
Primeiro converter o período da Lua T_{L}=27\\ \text{dias }7\\ \text{h }43\\ \text{min} para segundos.
Passos de conversão:
  • 27 dias =27\times86400=2{,}332{,}800\\ \mathrm{s}.
  • 7 horas =7\times3600=25{,}200\\ \mathrm{s}.
  • 43 minutos =43\times60=2{,}580\\ \mathrm{s}.
    Somando:
T_{L}=2{,}332{,}800+25{,}200+2{,}580=2{,}360{,}580\\ \mathrm{s}.
Agora a razão:
\dfrac{T_{L}}{T_{A}}=\dfrac{2{,}360{,}580}{5{,}979{,}7}\approx394{,}8.
Isso significa que a Lua leva cerca de 394{,}8 vezes o período do satélite para completar uma volta.

Passo 7

(F) Razão v_{A}/v_{L} entre velocidades orbitais do satélite e da Lua.
Primeiro calcular a velocidade orbital média da Lua v_{L} (assumindo órbita circular de raio r_{L}=R_{\text{Terra-Lua}}=3{,}844\times10^{8}\\ \mathrm{m}) usando
v_{L}=\sqrt{\dfrac{G M_{\text{Terra}}}{r_{L}}}.
Numericamente:
v_{L}=\sqrt{\dfrac{3{,}986\times10^{14}}{3{,}844\times10^{8}}} =\sqrt{1{,}037\times10^{6}}\\ \mathrm{m/s}\approx1{,}018{,}3\\ \mathrm{m/s}\approx1{,}018\\ \mathrm{km/s}.
(É conhecido que a velocidade orbital média da Lua fica em torno de 1{,}0 km/s.)
Agora a razão:
\dfrac{v_{A}}{v_{L}}=\dfrac{7{,}481\\ \mathrm{m/s}}{1{,}018{,}3\\ \mathrm{m/s}}\approx7{,}34.
Interpretação rápida: o satélite é cerca de 7{,}34 vezes mais rápido que a Lua em sua órbita.

Resposta

(A) V_{\min}\approx11{,}18\\ \mathrm{km/s}
(B) T_{A}\approx5{,}979{,}7\\ \mathrm{s}\approx99{,}66\\ \mathrm{min}
(C) N\approx14{,}45 voltas em 24 h
(D) V_{A}\approx7{,}48\\ \mathrm{km/s}
(E) \dfrac{T_{L}}{T_{A}}\approx394{,}8
(F) \dfrac{v_{A}}{v_{L}}\approx7{,}34

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