Uma bola de massa 0,4 \mathrm{~kg} está em repouso no solo. Use c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Calcule a energia de repouso dessa bola. [R. E=36 \times 10 \mathrm{~J} ]
b) Suponha que a energia de repouso da bola obtida no item a seja usada em uma lâmpada de 60 W . Calcule o tempo em que essa
lâmpada poderia ficar acesa. [R. 1,875 \times 10^{7} anos]

Passo 1

O enunciado dá uma bola de massa 0{,}4\\ \mathrm{kg} que está em repouso no solo e pede duas coisas:
a) Calcular a energia de repouso dessa bola.
b) Usar a energia de repouso do item (a) para alimentar uma lâmpada de 60\\ \mathrm{W} e calcular por quanto tempo a lâmpada poderia ficar acesa.
Informações relevantes fornecidas:
  • Massa: m = 0{,}4\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade da luz: c = 3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Potência da lâmpada: P = 60\\ \mathrm{W} (lembre: 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}).

Passo 2

Fórmula que usamos para energia de repouso: a famosa relação de Einstein
E = m c^{2}
onde:
  • E é a energia em joules ( \mathrm{J}),
  • m é a massa em quilogramas ( \mathrm{kg}),
  • c é a velocidade da luz em metros por segundo ( \mathrm{m/s}).
Vou calcular passo a passo c^{2} e depois multiplicar por m:
c^{2} = \bigl(3\times 10^{8}\bigr)^{2} = 9\times 10^{16}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora multiplico por m=0{,}4\\ \mathrm{kg}:
E = 0{,}4 \times 9\times 10^{16} = 3{,}6\times 10^{16}\\ \mathrm{J}.
Posso também escrever em outra notação equivalente:
E = 36\times 10^{15}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Agora usamos essa energia para alimentar a lâmpada. A relação entre energia, potência e tempo é
P = \frac{E}{t},
onde:
  • P é a potência em \mathrm{W} = \mathrm{J/s},
  • E é a energia em \mathrm{J},
  • t é o tempo em segundos.
Isolando t:
t = \frac{E}{P}.
Substituindo E=3{,}6\times 10^{16}\\ \mathrm{J} e P=60\\ \mathrm{J/s}:
t = \frac{3{,}6\times 10^{16}}{60} = 6{,}0\times 10^{14}\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Converter segundos em anos para obter um valor mais intuitivo. Usarei a conversão
1\\ \text{ano} = 365\\ \text{dias} \times 24\\ \text{h/dia} \times 3600\\ \text{s/h} = 31\,536\,000\\ \mathrm{s} = 3{,}1536\times 10^{7}\\ \mathrm{s}.
Agora converto t para anos:
t_{\text{anos}} = \frac{6{,}0\times 10^{14}\\ \mathrm{s}}{3{,}1536\times 10^{7}\\ \mathrm{s/ano}} \approx 1{,}903\times 10^{7}\\ \text{anos}.
Observação amigável: se em aproximações rápidas alguém usar 1\\ \text{ano}\approx 3{,}2\times 10^{7}\\ \mathrm{s} (valor arredondado), obterá um resultado próximo de 1{,}875\times 10^{7}\\ \text{anos}, que é a resposta que aparece em algumas listas. A diferença vem só da escolha da aproximação para o número de segundos por ano.

Resposta

a) E = 3{,}6\times 10^{16}\\ \mathrm{J}
b) t \approx 1{,}903\times 10^{7}\\ \text{anos}

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