Determine f(P) de tal forma que a transformação
q=f(P) \cos Q, \quad p=f(P) \operatorname{sen} Q
seja canônica.

Passo 1

O enunciado dá a transformação entre pares canônicos:
q = f(P)\cos Q,\qquad p = f(P)\sin Q,
e pede: determinar f(P) de forma que a transformação seja canônica.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • As novas variáveis dependem apenas de P e Q através das fórmulas acima.
  • A função desconhecida é f, que depende só de P.
  • A condição a impor é que a transformação seja canônica (ou seja, preserve a estrutura canônica).

Passo 2

O que significa “ser canônica”? Vou explicar de forma bem direta e prática. Uma transformação (Q,P)\mapsto(q,p) é canônica quando preserva a forma simplética básica. Uma forma equivalente e muito usada na prática é exigir que o colchete de Poisson entre as coordenadas canônicas seja preservado; em particular queremos
\{q,p\}_{Q,P}=1.
Aqui \{\cdot,\cdot\}_{Q,P} é o colchete de Poisson calculado usando as variáveis Q,P. Lembra que o colchete de Poisson entre duas funções A(Q,P) e B(Q,P) é
\{A,B\}_{Q,P}=\frac{\partial A}{\partial Q}\frac{\partial B}{\partial P}-\frac{\partial A}{\partial P}\frac{\partial B}{\partial Q}.
Vou usar essa fórmula para exigir \{q,p\}_{Q,P}=1. Se preferir, é equivalente exigir dq\wedge dp = dQ\wedge dP; o cálculo fica análogo.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias. Lembre que f depende só de P. Então:
\frac{\partial q}{\partial Q} = -f(P)\sin Q,\qquad \frac{\partial q}{\partial P} = f'(P)\cos Q,
\frac{\partial p}{\partial Q} = f(P)\cos Q,\qquad \frac{\partial p}{\partial P} = f'(P)\sin Q.
Aqui f'(P) é a derivada de f em relação a P. Eu mostrei cada parcial para você poder conferir passo a passo: derivar em Q trata f(P) como constante; derivar em P trata \cos Q e \sin Q como constantes.

Passo 4

Agora aplicamos a definição do colchete de Poisson:
\{q,p\}_{Q,P}=\frac{\partial q}{\partial Q}\frac{\partial p}{\partial P}-\frac{\partial q}{\partial P}\frac{\partial p}{\partial Q}.
Substituindo as derivadas que calculamos:
\{q,p\}_{Q,P}=(-f\sin Q)(f'\sin Q)-(f'\cos Q)(f\cos Q).
Agrupando termos (e lembrando que \sin^2 Q+\cos^2 Q=1):
\{q,p\}_{Q,P}=-f f'(\sin^2 Q+\cos^2 Q)=-f(P)\,f'(P).
Portanto a condição canônica \{q,p\}_{Q,P}=1 vira a equação para f:
-f(P)\,f'(P)=1.

Passo 5

Resolvemos a equação diferencial ordinária em f(P):
-f\,\frac{df}{dP}=1.
Multiplicando por -1:
f\frac{df}{dP}=-1.
Repare que o lado esquerdo é a derivada de \tfrac{1}{2}f^2 em relação a P. Então:
\frac{d}{dP}\left(\tfrac{1}{2}f^2\right)=-1.
Integrando em relação a P:
\tfrac{1}{2}f(P)^2 = -P + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Multiplicando por 2:
f(P)^2 = C - 2P,
com C=2C_1 outra constante arbitrária.

Passo 6

Tomando raiz quadrada (escolha de ramo de sinal à parte), obtemos:
f(P)=\pm\sqrt{C-2P},
onde C é constante real. Para que f(P) seja real precisamos de C-2P\ge 0, i.e. P\le C/2; caso contrário f seria complexo. O sinal + ou - corresponde a multiplicar ambos q e p por -1, o que é uma transformação canônica também (troca de sinal global). Assim normalmente escolhemos o ramo positivo:
f(P)=\sqrt{C-2P}.

Passo 7

Verificação rápida: substituindo f^2=C-2P e derivando, 2f f'=-2\Rightarrow f f'=-1, que é exatamente a condição que obtivemos no Passo 4. Logo a solução está consistente.

Resposta

f(P)=\pm\sqrt{C-2P}

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