Determine
de tal forma que a transformação
seja canônica.
Passo 1
O enunciado dá a transformação entre pares canônicos:
e pede: determinar
de forma que a transformação seja canônica.
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- As novas variáveis dependem apenas de
e através das fórmulas acima. - A função desconhecida é
, que depende só de . - A condição a impor é que a transformação seja canônica (ou seja, preserve a estrutura canônica).
Passo 2
O que significa “ser canônica”? Vou explicar de forma bem direta e prática. Uma transformação
é canônica quando preserva a forma simplética básica. Uma forma equivalente e muito usada na prática é exigir que o colchete de Poisson entre as coordenadas canônicas seja preservado; em particular queremos
Aqui
é o colchete de Poisson calculado usando as variáveis
. Lembra que o colchete de Poisson entre duas funções
e
é
Vou usar essa fórmula para exigir
. Se preferir, é equivalente exigir
; o cálculo fica análogo.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais necessárias. Lembre que
depende só de
. Então:
Aqui
é a derivada de
em relação a
. Eu mostrei cada parcial para você poder conferir passo a passo: derivar em
trata
como constante; derivar em
trata
e
como constantes.
Passo 4
Agora aplicamos a definição do colchete de Poisson:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Agrupando termos (e lembrando que
):
Portanto a condição canônica
vira a equação para
:
Passo 5
Resolvemos a equação diferencial ordinária em
:
Multiplicando por
:
Repare que o lado esquerdo é a derivada de
em relação a
. Então:
Integrando em relação a
:
onde
é constante de integração. Multiplicando por
:
com
outra constante arbitrária.
Passo 6
Tomando raiz quadrada (escolha de ramo de sinal à parte), obtemos:
onde
é constante real. Para que
seja real precisamos de
, i.e.
; caso contrário
seria complexo. O sinal
ou
corresponde a multiplicar ambos
e
por
, o que é uma transformação canônica também (troca de sinal global). Assim normalmente escolhemos o ramo positivo:
Passo 7
Verificação rápida: substituindo
e derivando,
, que é exatamente a condição que obtivemos no Passo 4. Logo a solução está consistente.