A Teoria da Relatividade especial prediz que existem situações nas quais dois eventos que acontecem em instantes diferentes, para um observador em um dado referencial inercial, podem acontecer no mesmo instante, para outro observador que está em outro referencial inercial. Ou seja, a noção de simultaneidade é relativa e não absoluta. A relatividade da simultaneidade é consequência do fato de que:
(a) a Teoria da Relatividade especial só é válida para velocidades pequenas em comparação com a velocidade da luz.
(b) a velocidade de propagação da luz no vácuo depende do sistema de referência inercial em relação ao qual ela é medida.
(c) a Teoria da Relatividade especial não é valida para sistemas de referência inerciais.
(d) a velocidade de propagação da luz no vácuo não depende do sistema de referência inercial em relação ao qual ela é medida.

Passo 1

O enunciado afirma que a simultaneidade é relativa: dois eventos que ocorrem em instantes diferentes num referencial podem ser simultâneos noutro referencial. Ele pergunta qual das alternativas é a causa dessa relatividade da simultaneidade. As alternativas dadas são:
(a) a Teoria da Relatividade especial só é válida para velocidades pequenas em comparação com a velocidade da luz.
(b) a velocidade de propagação da luz no vácuo depende do sistema de referência inercial em relação ao qual ela é medida.
(c) a Teoria da Relatividade especial não é valida para sistemas de referência inerciais.
(d) a velocidade de propagação da luz no vácuo não depende do sistema de referência inercial em relação ao qual ela é medida.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a simultaneidade pode mudar de um referencial inercial para outro; as alternativas envolvem validade da teoria e comportamento da velocidade da luz.

Passo 2

Vamos ver a razão física — vou mostrar a ideia matemática que explica por que dois eventos simultâneos em um referencial podem não ser simultâneos em outro. Primeiro, escrevo a transformação que relaciona o tempo medido em dois referenciais inerciais que se movem um em relação ao outro com velocidade relativa v. Essa é a transformação de Lorentz para o tempo:
t'=\gamma\!\left(t-\frac{v\,x}{c^{2}}\right)
onde:
  • t é o tempo do evento no referencial S,
  • t' é o tempo do mesmo evento no referencial S' que se move com velocidade v em relação a S,
  • x é a coordenada espacial do evento ao longo da direção do movimento relativo (aqui assumimos movimento unidimensional para simplificar),
  • c é a velocidade da luz no vácuo,
  • \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}} é o fator de Lorentz (explico o que cada termo significa em seguida).
Explicação dos termos: \gamma é sempre maior ou igual a 1 e aparece por causa das correções relativísticas quando v é comparável a c. O termo -v x / c^{2} mostra que o tempo medido em S' depende não só do tempo em S mas também da posição x do evento em S. Esse acoplamento espaço-tempo é o coração da relatividade da simultaneidade.

Passo 3

Agora uso essa fórmula para comparar dois eventos. Seja evento 1 com coordenadas (t_{1},x_{1}) no referencial S e evento 2 com (t_{2},x_{2}). Os tempos no referencial S' serão:
t_{1}'=\gamma\!\left(t_{1}-\frac{v\,x_{1}}{c^{2}}\right),\qquad t_{2}'=\gamma\!\left(t_{2}-\frac{v\,x_{2}}{c^{2}}\right).
A diferença de tempos em S' vale
\Delta t' \equiv t_{2}'-t_{1}'=\gamma\!\left(\Delta t-\frac{v\,\Delta x}{c^{2}}\right),
onde \Delta t=t_{2}-t_{1} e \Delta x=x_{2}-x_{1}.
Interpretação: mesmo que \Delta t=0 (ou seja, os eventos sejam simultâneos em S), encontramos
\Delta t' = -\gamma\frac{v\,\Delta x}{c^{2}}.
Isso mostra que, se \Delta x\neq 0 e v\neq 0, então \Delta t'\neq 0: os eventos deixam de ser simultâneos em S'. Portanto a simultaneidade não é absoluta — depende da velocidade relativa v e da separação espacial \Delta x.

Passo 4

De onde vem esse termo que mistura espaço e tempo, -v\,\Delta x/c^{2}? Ele aparece porque assumimos que a velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os observadores inerciais (constância de c). Essa condição força que transformações de coordenadas entre referenciais não sejam as transformações de Galileu (onde t'=t), mas sim as transformações de Lorentz que misturam t e x. Se em vez disso a velocidade da luz dependesse do referencial (como diz a alternativa (b)), as transformações que preservassem as leis da física poderiam ser diferentes e poderíamos recuperar a transformação galileana com t'=t, o que implica simultaneidade absoluta. Mas a experiência (e a própria construção da Relatividade Especial) diz que c é idêntica em todos os referenciais inerciais; é essa invariância que obriga a mistura espaço-tempo e leva à relatividade da simultaneidade.

Passo 5

Comentando rapidamente as alternativas:
  • (a) está errada: a relatividade especial é necessária quando velocidades são comparáveis a c; ela não é uma teoria apenas para velocidades pequenas.
  • (b) está errada: se a velocidade da luz dependesse do referencial, a simultaneidade poderia ser absoluta (transformação temporal seria t'=t na transformação de Galileu).
  • (c) está errada: a teoria é formulada justamente para sistemas de referência inerciais — ela é válida para esses sistemas.
  • (d) está correta: a independência da velocidade da luz ao referencial (constância de c) é justamente a razão que leva às transformações de Lorentz e, por consequência, à relatividade da simultaneidade.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para consolidar (sem usar calculadora complexa). Escolho \Delta x=3\cdot 10^{5}\,\mathrm{m} (300 km) e v=0{,}6\,c. Então \Delta x/c=1{,}0\times 10^{-3}\,\mathrm{s}. O fator \gamma para v=0{,}6\,c é
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(0{,}6)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}64}}=\frac{1}{0{,}8}=1{,}25.
Para eventos simultâneos em S ( \Delta t=0) a diferença em S' é
\Delta t'=-\gamma\frac{v\,\Delta x}{c^{2}}=-1{,}25\cdot 0{,}6\cdot 1{,}0\times 10^{-3}\,\mathrm{s}\approx -7{,}5\times 10^{-4}\,\mathrm{s},
ou seja cerca de -0{,}75\,\text{ms}. Resultado: duas coisas que ocorrem “ao mesmo tempo” em S estão separadas por cerca de 0{,}75 milissegundos em S'. Isso mostra concretamente a relatividade da simultaneidade e que ela depende do fator v\Delta x/c^{2}, que vem da constância de c.

Resposta

(d)

Exercícios relacionados