Tp 9 Em um aquecedor solar, a radiação proveniente do Sol é absorvida pela água que circula em tubos em um coletor situado no telhado. A radiação solar penetra no coletor através de uma cobertura transparente e aquece a água dos tubos. Em seguida a água é bombeada para um tanque de armazenamento. Supondo que a eficiência do sistema seja de 20 \% e que a intensidade da luz solar incidente seja igual a 700 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, calcule a área de coleta necessária para aumentar a temperatura de 100 L de água no tanque de 25{ }^{\circ} \mathrm{C} para 50{ }^{\circ} \mathrm{C} em 2,0 \mathrm{~h}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (listados claramente):
  • Pedido: calcular a área de coleta A necessária para aquecer água no tanque de 25{ }^{\circ}\mathrm{C} até 50{ }^{\circ}\mathrm{C} em 2,0\\ \mathrm{h}, dado que a eficiência do coletor é 20\% e a intensidade solar incidente é 700\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Dados fornecidos:
    • Volume de água: 100\\ \mathrm{L}.
    • Temperatura inicial: 25{ }^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura final: 50{ }^{\circ}\mathrm{C}.
    • Tempo disponível: 2,0\\ \mathrm{h}.
    • Eficiência do sistema: \eta=0,20 (isto é, 20\%).
    • Intensidade solar incidente: I=700\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Observações úteis extraídas dos dados:
  • A variação de temperatura é \Delta T=50-25=25\\ \mathrm{K}.
  • Será necessário calcular a energia térmica necessária para aquecer a água e, a partir daí, a potência útil requerida e a área que fornece essa potência considerando a eficiência.

Passo 2

Converter volume de água em massa (porque a fórmula de calor usa massa).
  • Densidade da água: 1\\ \mathrm{kg/L} (aproximação usual à temperatura ambiente).
  • Logo a massa é
m = 100\\ \mathrm{L}\times\frac{1\\ \mathrm{kg}}{1\\ \mathrm{L}} = 100\\ \mathrm{kg}.
Explicação curta: para líquidos comuns a densidade \rho relaciona massa e volume por m=\rho V. Aqui \rho\approx1\\ \mathrm{kg/L}.

Passo 3

Calcular a energia térmica necessária para elevar a temperatura da água: usar a fórmula do calor sensível.
  • Fórmula: Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é a energia térmica necessária (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa da substância (em \mathrm{kg});
  • c é o calor específico (para a água, c\approx4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • \Delta T é a variação de temperatura (em \mathrm{K} ou {}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Substituindo:
Q = 100\\ \mathrm{kg}\times 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\times 25\\ \mathrm{K}.
Agora fazer a conta passo a passo:
4186\times25 = 104\,650\\ \mathrm{J/(kg)}.
Q = 100\times 104\,650 = 10\,465\,000\\ \mathrm{J}.
Interpretação: é a energia que precisa ser entregue à água para aquecê-la de 25{ }^{\circ}\mathrm{C} a 50{ }^{\circ}\mathrm{C}, desconsiderando perdas além da eficiência dada.

Passo 4

Converter o tempo para segundos (unidade SI, conveniente para potências em watts).
2,0\\ \mathrm{h} = 2,0\times 3600\\ \mathrm{s} = 7200\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular a potência útil necessária (a potência que de fato precisa entrar na água).
  • Potência útil P_{\text{útil}} = \dfrac{Q}{t}ú.
P_{\text{útil}} = \frac{10\,465\,000\\ \mathrm{J}}{7200\\ \mathrm{s}} \approx 1453,47\\ \mathrm{W}.ú
Explicação: potência é energia por unidade de tempo; essa é a taxa média de energia que deve atingir a água durante as 2,0\\ \mathrm{h}.

Passo 6

Levar em conta a eficiência do sistema para achar a potência solar incidente exigida.
  • Definição: eficiência \eta diz que só uma fração \eta da potência solar incidente é transformada em aquecimento útil da água.
  • Então a potência incidente necessária é
P_{\text{inc}} = \frac{P_{\text{útil}}}{\eta}.ú
Substituindo:
P_{\text{inc}} = \frac{1453,47\\ \mathrm{W}}{0,20} = 7267,36\\ \mathrm{W}.
Interpretação: o coletor precisa receber, em média, cerca de 7267,36\\ \mathrm{W} da radiação solar para que, com 20\% de eficiência, chegue a 1453,47\\ \mathrm{W} úteis para a água.

Passo 7

Relacionar potência incidente à intensidade solar e à área para obter A.
  • Relação básica: potência incidente sobre a área é
P_{\text{inc}} = I\cdot A,
onde I é a intensidade ( \mathrm{W/m^{2}}) e A é a área ( \mathrm{m^{2}}).
  • Isolando A:
A = \frac{P_{\text{inc}}}{I}.
Substituindo os valores:
A = \frac{7267,36\\ \mathrm{W}}{700\\ \mathrm{W/m^{2}}} \approx 10,38194\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando para duas casas decimais razoáveis (dados dados com poucas cifras significativas): A\approx 10,38\\ \mathrm{m^{2}}. Para relatórios práticos pode-se usar A\approx 10,4\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 8

Verificação alternativa (pela energia total): calcular a energia solar necessária e dividir por I\cdot t.
  • Energia solar necessária: E_{\text{inc}} = Q/\eta = 10\,465\,000/0,20 = 52\,325\,000\\ \mathrm{J}.
  • Energia por unidade de área disponível no tempo t: I\cdot t = 700\\ \mathrm{W/m^{2}}\times 7200\\ \mathrm{s} = 5\,040\,000\\ \mathrm{J/m^{2}}.
  • Área: A = E_{\text{inc}}/(I\cdot t) = 52\,325\,000/5\,040\,000 \approx 10,38\\ \mathrm{m^{2}}.
    Confirma que o resultado coincide com o do passo anterior.

Resposta

A = 10,4\\ \mathrm{m^{2}}

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