Uma bola de neve derrete a uma taxa taxa
proporcional à sua área. Mostre que seu raio decresce a uma taxa
constante.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala que a bola de neve está derretendo, e a taxa de diminuição do volume (
) é proporcional à sua área. Nosso objetivo é mostrar que a taxa de diminuição do raio (
) é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria das esferas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume (
) de uma esfera é dado por:
E a área (
) da superfície de uma esfera é:
Como a taxa de variação do volume é proporcional à área, podemos escrever:
Aqui,
é a constante de proporcionalidade e o sinal negativo indica que o volume está diminuindo.
Passo 3
Vamos substituir as expressões de
e
nas equações:
Calculando a derivada do volume em relação ao tempo:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
Isso mostra que a taxa de variação do raio em relação ao tempo é igual a
, ou seja, é uma constante.
Resposta
A taxa de diminuição do raio da bola de neve é constante e igual a
, ou seja: