Uma bola de neve derrete a uma taxa taxa d vd t proporcional à sua área. Mostre que seu raio decresce a uma taxa d rd t constante.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala que a bola de neve está derretendo, e a taxa de diminuição do volume ( d vd t) é proporcional à sua área. Nosso objetivo é mostrar que a taxa de diminuição do raio ( d rd t) é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria das esferas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume ( V) de uma esfera é dado por:
V = 43 pi r^3
E a área ( A) da superfície de uma esfera é:
A = 4 pi r^2
Como a taxa de variação do volume é proporcional à área, podemos escrever:
dVdt = -k A
Aqui, k é a constante de proporcionalidade e o sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 3

Vamos substituir as expressões de V e A nas equações:
ddt(43 pi r^3) = -k cdot 4 pi r^2
Calculando a derivada do volume em relação ao tempo:
4 pi r^2 drdt = -4 k pi r^2

Passo 4

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 4 pi r^2:
drdt = -k
Isso mostra que a taxa de variação do raio em relação ao tempo é igual a -k, ou seja, é uma constante.

Resposta

A taxa de diminuição do raio da bola de neve é constante e igual a -k, ou seja:
drdt = -k

Exercícios relacionados