Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=5 raizn+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a sequência $ a_{n} = 5 \sqrt{n+2} $ converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de sequences e limites, mais especificamente sobre o comportamento das sequências quando $ n $ tende ao infinito. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular o limite de uma sequência e interpretar o que ele significa.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar o limite da sequência quando $ n $ cresce muito, ou seja, quando $ n $ tende ao infinito. O limite nos diz para onde a sequência está indo conforme os termos ficam cada vez maiores.

Passo 3

Vamos calcular o limite:
limn to infty 5 raizn + 2
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz. Quando $ n $ é muito grande, o $ +2 $ vira praticamente insignificante comparado a $ n $, então:
n
Então, a expressão fica aproximadamente:
+2

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de $ 5 \sqrt{n} $ quando $ n $ tende ao infinito. Sabemos que a raiz quadrada de $ n $ cresce sem limites à medida que $ n $ aumenta. Multiplicando por 5, que é uma constante, isso não muda o fato de que a expressão vai para o infinito.

Passo 5

Portanto, o limite da sequência é infinito, o que significa que a sequência não está se aproximando de nenhum número finito. Em termos matemáticos, dizemos que a sequência diverge para o infinito.

Resposta

A sequência diverge para o infinito.

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