Um ponto move-se ao longo da parábola x^2=4 p y de tal modo que sua projeção sobre o eixo x tem velocidade constante. Mostre que sua projeção sobre o eixo y tem aceleração constante.

Passo 1

A questão diz que um ponto move-se na parábola x^2=4py, sua projeção sobre o eixo x tem velocidade constante dot x=v0, e pede para mostrar que a projeção em y tem aceleração constante. O conteúdo aqui é derivação implícita e regra da cadeia para ligarmos as velocidades e acelerações.

Passo 2

Da equação da parábola podemos isolar y em função de x:
y=x^24p

Passo 3

Para achar a velocidade em y usamos a regra da cadeia: y é função de x e x de t. Então
dot y=dydxcdotdxdt
e como dy/dx=2x/(4p)=x/(2p) e dx/dt=v0, fica
dot y=x2pv0

Passo 4

Agora calculamos a aceleração em y, isto é ddot y= d(dot y)/dt. Novamente usamos a regra da cadeia, tratando x como função de t:
ddot y=ddtl(x2pv0r)=v02pcdotdxdt
Substituindo dx/dt=v0 obtemos
ddot y=v0^22p

Resposta

A aceleração da projeção em y é constante e vale ddot y=v0^2/(2p).

Exercícios relacionados