5- Uma bola presa na extremidade de uma corda move-se em um círculo vertical com energia mecânica E constante. Qual é a diferença entre a tração na corda quando a bola está na base do círculo e aquela quando a bola está no ponto mais alto do círculo?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar direitinho para não perder o foco):
  • O que está dado:
    • Uma bola de massa m presa na extremidade de uma corda descreve um movimento circular vertical de raio R.
    • A energia mecânica total E da bola é constante ao longo do movimento.
    • A aceleração da gravidade é g.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a diferença entre a tração na corda quando a bola está na base do círculo e a tração quando a bola está no ponto mais alto do círculo; ou seja, calcular \,T_{\text{base}}-T_{\text{top}}\,.
  • Informações relevantes (variáveis que vou usar):
    • v_{\text{base}}: velocidade da bola na base.
    • v_{\text{top}}: velocidade da bola no ponto mais alto.
    • Notar que a diferença de altura entre top e base é 2R.

Passo 2

Usar conservação da energia mecânica entre os dois pontos (isso é obrigatório porque E é constante).
Escolho referir a energia potencial gravitacional nula na base: então
U_{\text{base}}=0,\qquad U_{\text{top}}=m g(2R).
A energia mecânica na base é só energia cinética:
E=\tfrac{1}{2}m v_{\text{base}}^{2}.
No topo:
E=\tfrac{1}{2}m v_{\text{top}}^{2}+m g(2R).
Igualando as duas expressões para E e simplificando por \tfrac{1}{2}m:
\tfrac{1}{2}m v_{\text{base}}^{2}=\tfrac{1}{2}m v_{\text{top}}^{2}+2m g R
\Rightarrow v_{\text{base}}^{2}=v_{\text{top}}^{2}+4gR.
Essa é a relação entre as velocidades nos dois pontos.

Passo 3

Escrever as equações do movimento radial (segunda lei de Newton) nos dois pontos, lembrando que a aceleração centrípeta tem magnitude \dfrac{v^{2}}{R} dirigida ao centro do círculo.
  • Na base: o centro do círculo está acima, então a força resultante para cima (centro) é T_{\text{base}}-mg. Essa resultante fornece a força centrípeta:
T_{\text{base}}-mg = m\frac{v_{\text{base}}^{2}}{R}.
Logo
T_{\text{base}} = mg + m\frac{v_{\text{base}}^{2}}{R}.
  • No topo: o centro do círculo está abaixo, então as forças que apontam para baixo (sentido centrípeto) são o peso mg e a tração T_{\text{top}}. Portanto
mg + T_{\text{top}} = m\frac{v_{\text{top}}^{2}}{R}.
Logo
T_{\text{top}} = m\frac{v_{\text{top}}^{2}}{R} - mg.

Passo 4

Agora calculo a diferença T_{\text{base}}-T_{\text{top}} substituindo as expressões obtidas:
T_{\text{base}}-T_{\text{top}} = \Big( mg + m\frac{v_{\text{base}}^{2}}{R}\Big) - \Big( m\frac{v_{\text{top}}^{2}}{R} - mg\Big).
Agrupando termos:
T_{\text{base}}-T_{\text{top}} = 2mg + m\frac{v_{\text{base}}^{2}-v_{\text{top}}^{2}}{R}.
Agora uso a relação de velocidades do Passo 2, que diz v_{\text{base}}^{2}-v_{\text{top}}^{2}=4gR. Substituindo:
T_{\text{base}}-T_{\text{top}} = 2mg + m\frac{4gR}{R} = 2mg + 4mg = 6mg.

Passo 5

Interpretação curta e útil para a prova:
  • O resultado é simples e surpreendente: a diferença entre a tração na base e no topo é independente da energia E e do raio R; vale sempre 6mg.
  • Atenção prática: o cálculo acima usa apenas conservação de energia (para relacionar velocidades) e a segunda lei na direção radial. Mesmo que T_{\text{top}} possa ser pequena ou até negativa se a velocidade for insuficiente (situação em que a corda ficaria frouxa), a relação algebraica entre tensões obtida a partir das equações continua válida enquanto o movimento for como assumido (corda esticada nos dois pontos).

Resposta

\,T_{\text{base}}-T_{\text{top}}=6mg

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