5- Uma bola presa na extremidade de uma corda move-se em um círculo vertical com energia mecânica
constante. Qual é a diferença entre a tração na corda quando a bola está na base do círculo e aquela quando a bola está no ponto mais alto do círculo?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar direitinho para não perder o foco):
- O que está dado:
- Uma bola de massa
presa na extremidade de uma corda descreve um movimento circular vertical de raio . - A energia mecânica total
da bola é constante ao longo do movimento. - A aceleração da gravidade é
.
- Uma bola de massa
- O que o enunciado pede:
- Determinar a diferença entre a tração na corda quando a bola está na base do círculo e a tração quando a bola está no ponto mais alto do círculo; ou seja, calcular
.
- Determinar a diferença entre a tração na corda quando a bola está na base do círculo e a tração quando a bola está no ponto mais alto do círculo; ou seja, calcular
- Informações relevantes (variáveis que vou usar):
-
: velocidade da bola na base. -
: velocidade da bola no ponto mais alto. - Notar que a diferença de altura entre top e base é
.
-
Passo 2
Usar conservação da energia mecânica entre os dois pontos (isso é obrigatório porque
é constante).
Escolho referir a energia potencial gravitacional nula na base: então
A energia mecânica na base é só energia cinética:
No topo:
Igualando as duas expressões para
e simplificando por
:
Essa é a relação entre as velocidades nos dois pontos.
Passo 3
Escrever as equações do movimento radial (segunda lei de Newton) nos dois pontos, lembrando que a aceleração centrípeta tem magnitude
dirigida ao centro do círculo.
- Na base: o centro do círculo está acima, então a força resultante para cima (centro) é
. Essa resultante fornece a força centrípeta:
Logo
- No topo: o centro do círculo está abaixo, então as forças que apontam para baixo (sentido centrípeto) são o peso
e a tração . Portanto
Logo
Passo 4
Agora calculo a diferença
substituindo as expressões obtidas:
Agrupando termos:
Agora uso a relação de velocidades do Passo 2, que diz
. Substituindo:
Passo 5
Interpretação curta e útil para a prova:
- O resultado é simples e surpreendente: a diferença entre a tração na base e no topo é independente da energia
e do raio ; vale sempre . - Atenção prática: o cálculo acima usa apenas conservação de energia (para relacionar velocidades) e a segunda lei na direção radial. Mesmo que
possa ser pequena ou até negativa se a velocidade for insuficiente (situação em que a corda ficaria frouxa), a relação algebraica entre tensões obtida a partir das equações continua válida enquanto o movimento for como assumido (corda esticada nos dois pontos).