20-Um projétil lançado no ar ao nível do solo apresenta um alcance de 55 m . No ponto mais alto de sua trajetória ele explode, fragmentando-se em duas partes, sendo que um fragmento possui o dobro da massa do outro. Imediatamente após a explosão, um de seus fragmentos (cuja massa é o dobro do outro fragmento) apresenta uma velocidade instantânea nula, e cai em linha reta em direção ao solo. Onde o outro fragmento cairá? Despreze a resistência do ar.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Alcance do projétil no solo:
. - A explosão ocorre no ponto mais alto da trajetória.
- Após a explosão o projétil se fragmenta em duas partes; uma parte tem o dobro da massa da outra. Vou chamar as massas de
(maior fragmento) e (menor fragmento). - Imediatamente após a explosão, o fragmento de massa
tem velocidade instantânea nula e cai verticalmente (ou seja, sua velocidade horizontal é zero naquele instante). - Desprezar resistência do ar.
- Alcance do projétil no solo:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar onde (em termos de distância horizontal desde o ponto de lançamento) o outro fragmento (a de massa
) irá cair.
- Determinar onde (em termos de distância horizontal desde o ponto de lançamento) o outro fragmento (a de massa
Passo 2
Entender a situação física no ponto mais alto e propriedades úteis da trajetória.
- Em movimento de projétil sem resistência do ar, no ponto mais alto a velocidade vertical é zero e a velocidade é puramente horizontal. Vou chamar essa velocidade horizontal, imediatamente antes da explosão, de
. - A explosão é interna (forças internas entre fragmentos); portanto, a quantidade de movimento total (momentum) do sistema é conservada no instante imediatamente após a explosão (não há impulso externo horizontal significativo naquele instante).
- A coordenada horizontal do ponto mais alto é metade do alcance total do projétil. Ou seja, a explosão ocorre em
. (Isso vem da simetria da trajetória do projétil: sobe até e desce até .)
Passo 3
Aplicar conservação do momento linear horizontal no instante imediatamente após a explosão.
- Antes da explosão: massa total
movendo-se horizontalmente com velocidade . Portanto o momento horizontal total antes é
- Depois da explosão: o fragmento de massa
tem velocidade zero ( ), o fragmento de massa tem velocidade horizontal que vou chamar de . Conservando momento horizontal:
- Cancelando
obtemos
Portanto, imediatamente após a explosão o fragmento mais leve sai horizontalmente com velocidade
. (A explosão não criou momento horizontal total, apenas redistribuiu entre fragmentos.)
Passo 4
Determinar o tempo de queda do fragmento até o solo e a distância horizontal percorrida por ele desde o ponto da explosão.
- O ponto de explosão é o ponto mais alto da trajetória; a componente vertical da velocidade dos fragmentos imediatamente após a explosão é zero (porque a velocidade vertical do projétil no topo era zero e a explosão, sendo interna, não altera o momento vertical total; além disso o fragmento pesado tem velocidade vertical zero, o que implica que o fragmento leve também terá componente vertical zero naquele instante para conservar momento vertical). Logo cada fragmento começa a cair a partir de altura
com velocidade vertical inicial zero. - O tempo que um objeto leva para cair de altura
até o solo, partindo com velocidade vertical zero, é
- Porém, para evitar calcular
explicitamente, podemos usar a simetria do projétil: o tempo que o projétil demoraria para ir do topo até o solo é exatamente metade do tempo total de voo; e a distância horizontal que o projétil original percorria do topo até o solo é . Esse trecho do movimento ocorria com velocidade horizontal , então
(Essa igualdade vale porque sem explosão o deslocamento horizontal do topo até o pouso é
e a velocidade horizontal é
.)
Passo 5
Calcular a janela horizontal que o fragmento leve percorre desde o topo até o solo.
- A velocidade horizontal do fragmento leve é
. Durante o tempo de queda , a sua distância horizontal percorrida desde o ponto de explosão é
- Assim, a abscissa (posição horizontal) onde o fragmento leve aterrissa, medida a partir do ponto de lançamento, é
Passo 6
Substituir o valor numérico do alcance dado e interpretar o resultado.
- Como
, a posição de queda do fragmento leve é
- Em palavras: o fragmento mais leve cairá a
do ponto de lançamento, ou seja, a além do ponto onde o projétil original teria caído sem explodir.