20-Um projétil lançado no ar ao nível do solo apresenta um alcance de 55 m . No ponto mais alto de sua trajetória ele explode, fragmentando-se em duas partes, sendo que um fragmento possui o dobro da massa do outro. Imediatamente após a explosão, um de seus fragmentos (cuja massa é o dobro do outro fragmento) apresenta uma velocidade instantânea nula, e cai em linha reta em direção ao solo. Onde o outro fragmento cairá? Despreze a resistência do ar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Alcance do projétil no solo: R=55\\ \text{m}.
    • A explosão ocorre no ponto mais alto da trajetória.
    • Após a explosão o projétil se fragmenta em duas partes; uma parte tem o dobro da massa da outra. Vou chamar as massas de 2m (maior fragmento) e m (menor fragmento).
    • Imediatamente após a explosão, o fragmento de massa 2m tem velocidade instantânea nula e cai verticalmente (ou seja, sua velocidade horizontal é zero naquele instante).
    • Desprezar resistência do ar.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar onde (em termos de distância horizontal desde o ponto de lançamento) o outro fragmento (a de massa m) irá cair.

Passo 2

Entender a situação física no ponto mais alto e propriedades úteis da trajetória.
  • Em movimento de projétil sem resistência do ar, no ponto mais alto a velocidade vertical é zero e a velocidade é puramente horizontal. Vou chamar essa velocidade horizontal, imediatamente antes da explosão, de v_h.
  • A explosão é interna (forças internas entre fragmentos); portanto, a quantidade de movimento total (momentum) do sistema é conservada no instante imediatamente após a explosão (não há impulso externo horizontal significativo naquele instante).
  • A coordenada horizontal do ponto mais alto é metade do alcance total do projétil. Ou seja, a explosão ocorre em x_{\text{top}}=R/2. (Isso vem da simetria da trajetória do projétil: sobe até x=R/2 e desce até x=R.)

Passo 3

Aplicar conservação do momento linear horizontal no instante imediatamente após a explosão.
  • Antes da explosão: massa total M=2m+m=3m movendo-se horizontalmente com velocidade v_h. Portanto o momento horizontal total antes é
p_{\text{antes}} = 3m \, v_h.
  • Depois da explosão: o fragmento de massa 2m tem velocidade zero ( v_{2m}=0), o fragmento de massa m tem velocidade horizontal que vou chamar de v_f. Conservando momento horizontal:
3m\,v_h = 2m\cdot 0 + m\,v_f.
  • Cancelando m obtemos
v_f = 3\,v_h.
Portanto, imediatamente após a explosão o fragmento mais leve sai horizontalmente com velocidade 3v_h. (A explosão não criou momento horizontal total, apenas redistribuiu entre fragmentos.)

Passo 4

Determinar o tempo de queda do fragmento até o solo e a distância horizontal percorrida por ele desde o ponto da explosão.
  • O ponto de explosão é o ponto mais alto da trajetória; a componente vertical da velocidade dos fragmentos imediatamente após a explosão é zero (porque a velocidade vertical do projétil no topo era zero e a explosão, sendo interna, não altera o momento vertical total; além disso o fragmento pesado tem velocidade vertical zero, o que implica que o fragmento leve também terá componente vertical zero naquele instante para conservar momento vertical). Logo cada fragmento começa a cair a partir de altura H com velocidade vertical inicial zero.
  • O tempo que um objeto leva para cair de altura H até o solo, partindo com velocidade vertical zero, é
t_{\text{queda}}=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}.
  • Porém, para evitar calcular H explicitamente, podemos usar a simetria do projétil: o tempo que o projétil demoraria para ir do topo até o solo é exatamente metade do tempo total de voo; e a distância horizontal que o projétil original percorria do topo até o solo é R/2. Esse trecho do movimento ocorria com velocidade horizontal v_h, então
t_{\text{queda}}=\dfrac{R/2}{v_h}=\dfrac{R}{2v_h}.
(Essa igualdade vale porque sem explosão o deslocamento horizontal do topo até o pouso é R/2 e a velocidade horizontal é v_h.)

Passo 5

Calcular a janela horizontal que o fragmento leve percorre desde o topo até o solo.
  • A velocidade horizontal do fragmento leve é v_f=3v_h. Durante o tempo de queda t_{\text{queda}}=\dfrac{R}{2v_h}, a sua distância horizontal percorrida desde o ponto de explosão é
\Delta x = v_f \, t_{\text{queda}} = 3v_h \cdot \dfrac{R}{2v_h} = \dfrac{3R}{2}.
  • Assim, a abscissa (posição horizontal) onde o fragmento leve aterrissa, medida a partir do ponto de lançamento, é
x_{\text{queda}} = x_{\text{top}} + \Delta x = \dfrac{R}{2} + \dfrac{3R}{2} = 2R.

Passo 6

Substituir o valor numérico do alcance dado e interpretar o resultado.
  • Como R=55\\ \text{m}, a posição de queda do fragmento leve é
x_{\text{queda}} = 2R = 2\cdot 55\\ \text{m} = 110\\ \text{m}.
  • Em palavras: o fragmento mais leve cairá a 110\\ \text{m} do ponto de lançamento, ou seja, a 55\\ \text{m} além do ponto onde o projétil original teria caído sem explodir.

Resposta

110\\ \text{m}

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