Uma bola que está em repouso é solta do alto de um edifício com altura h. Ao mesmo tempo, uma segunda bola é projetada verticalmente para cima a partir do nível do chão, de tal modo que possui velocidade zero quando atinge o topo do edifício. Quando uma bola passa pela outra, qual delas possui maior velocidade ou a velocidade delas é a mesma? Explique. Onde as duas bolas estarão quando ficarem lado a lado: na altura h / 2 acima do chão, abaixo dessa altura ou acima dessa altura? Explique.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é analisar duas bolas sob aceleração da gravidade. Uma está largada do repouso no topo de um prédio de altura y(t)=y0+v0 t-tfrac12,g,t^2, v(t)=v0-g,t, , caindo pra baixo; a outra é arremessada do chão pra cima de modo que, ao chegar naquele mesmo topo (altura v^2 = v0^2 + 2,a,(y-y0) ), sua velocidade se anula. A gente quer saber:
  1. Quando elas se cruzam em algum ponto, quem tá mais rápido (ou têm a mesma velocidade)?
  2. Em que altura isso acontece: em , acima ou abaixo disso?
Conteúdo necessário: cinemática unidimensional com aceleração constante (gravidade ), usando as fórmulas
e a ideia de energia cinética/queda livre para relacionar velocidade e deslocamento:

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações dos dois movimentos e achar a velocidade inicial da bola que vai pra cima.
Bola 1 (queda livre):
  • Posição: 0 = v0,2^2 -2g,h Longrightarrow v0,2 = raiz2g,h (começa em y2(t)=v0,2,t-tfrac12,g,t^2 =raiz2g,h;t-tfrac12,g,t^2, , velocidade zero)
  • Velocidade: v2(t)=v0,2-g,t =raiz2g,h-g,t (ganha velocidade pra baixo)
Bola 2 (lançada pra cima):
  • Queremos que em v1^2 = 0 + 2g,(h-y) tenha v2^2 = v0,2^2 -2g,(y-0) =2g,h -2g,y =2g,(h-y) .
  • Usando v1^2 ;=;2g(h-y) e v2^2 ;=;2g(h-y) Longrightarrow v1 = v2 , impondo em :
  • Então
Agora, para comparar velocidades no instante do encontro, usamos a relação energia/deslocamento:
  • Para a bola 1, que partiu de repouso e caiu uma distância :
  • Para a bola 2, que subiu de até a mesma altura :
Conclusão imediata:
ou seja, as duas têm a MESMA velocidade (em módulo) quando se cruzam.

Passo 3

Falta achar onde (altura h-tfrac12,g,t^2 ;=; raiz2g,h;t-tfrac12,g,t^2 Longrightarrow h = raiz2g,h;t Longrightarrow t = hraiz2g,h = raizh2g ) e quando ( y = h - tfrac12,g,l(raiztfrach2gr)^2 = h - tfrac12,g;h2g = h - h4 = 3h4 ) ocorre esse encontro. Basta igualar :
Agora achamos substituindo em, digamos, :
Então elas se cruzam quando estão a do chão, ou seja, acima da metade .

Resposta

  1. As duas bolas têm a mesma velocidade (em módulo) no instante do encontro.
  2. Elas se encontram na altura , que é acima de .

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