Uma bola que está em repouso é solta do alto de um edifício com altura
. Ao mesmo tempo, uma segunda bola é projetada verticalmente para cima a partir do nível do chão, de tal modo que possui velocidade zero quando atinge o topo do edifício. Quando uma bola passa pela outra, qual delas possui maior velocidade ou a velocidade delas é a mesma? Explique. Onde as duas bolas estarão quando ficarem lado a lado: na altura
acima do chão, abaixo dessa altura ou acima dessa altura? Explique.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é analisar duas bolas sob aceleração da gravidade. Uma está largada do repouso no topo de um prédio de altura
, caindo pra baixo; a outra é arremessada do chão pra cima de modo que, ao chegar naquele mesmo topo (altura
), sua velocidade se anula. A gente quer saber:
- Quando elas se cruzam em algum ponto, quem tá mais rápido (ou têm a mesma velocidade)?
- Em que altura isso acontece: em
, acima ou abaixo disso?
Conteúdo necessário: cinemática unidimensional com aceleração constante (gravidade
), usando as fórmulas
e a ideia de energia cinética/queda livre para relacionar velocidade e deslocamento:
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações dos dois movimentos e achar a velocidade inicial da bola que vai pra cima.
Bola 1 (queda livre):
- Posição:
(começa em , velocidade zero) - Velocidade:
(ganha velocidade pra baixo)
Bola 2 (lançada pra cima):
- Queremos que em
tenha . - Usando
, impondo em : - Então
Agora, para comparar velocidades no instante do encontro, usamos a relação energia/deslocamento:
- Para a bola 1, que partiu de repouso e caiu uma distância
: - Para a bola 2, que subiu de
até a mesma altura :
Conclusão imediata:
ou seja, as duas têm a MESMA velocidade (em módulo) quando se cruzam.
Passo 3
Falta achar onde (altura
) e quando (
) ocorre esse encontro. Basta igualar
:
Agora achamos
substituindo em, digamos,
:
Então elas se cruzam quando estão a
do chão, ou seja, acima da metade
.
Resposta
- As duas bolas têm a mesma velocidade (em módulo) no instante do encontro.
- Elas se encontram na altura
, que é acima de .