Do topo de um edifício alto, você joga uma bola de baixo para cima com velocidade v0 e outra bola de cima para baixo com velocidade v0. a) Qual das bolas possui maior velocidade ao àtingir o chão? b) Qual das bolas chega primeiro ao chão? c) Qual das bolas possui maior deslocamento ao atingir o chão? d) Qual das bolas percorreu a maior distância ao atingir o chão?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte:
“De um prédio alto (altura h), eu jogo duas bolinhas simultaneamente do topo:
  1. Uma para cima, com velocidade inicial v0 (ou seja, ela sobe primeiro).
  2. Outra para baixo, com a mesma velocidade inicial v0.
    A gente quer saber:
    a) Qual tem maior velocidade ao chegar no chão?
    b) Qual chega primeiro?
    c) Qual tem maior deslocamento até chegar no chão?
    d) Qual percorreu maior distância?”
Conteúdo: cinemática de movimento uniformemente variado (MUV), aceleração da gravidade g, equações do tipo
v^2 = v0^2 + 2gDe^2
Vamos usar isso sem pressupor que você já domina tudo.

Passo 2

a) Velocidades ao atingir o chão
  1. Adoto convenção: eixo y positivo para baixo, origem no topo. Então a gravidade é a = +g.
  2. Tanto a bola jogada para baixo ( v0downarrow=+v0) quanto a jogada para cima ( v0uparrow=-v0) percorrem De até o chão.
  3. A equação é
v^2 = v0^2 + 2g,De
Repare que aparece v0^2 em ambos os casos, então
As duas têm a mesma velocidade em módulo quando tocam o chão:
vimpacto = raizv0^2 + 2gh

Passo 3

b) Tempos de queda
  1. Para a bola lançada para baixo, usamos
y = v0 t + tfrac12>^2 Rightarrow h = v0,t1 + tfrac12g,t1^2
2. Para a bola lançada para cima, ela primeiro sobe, para e depois desce. A gente pode
– calcular o tempo de subida (até v=0): tuparrow = v0/g,
– achar a altura extra que ela alcança: huparrow = v0^2/(2g),
– e então ver que cai de uma altura total h + huparrow a partir do repouso, tomando tempo
tdownarrow' = raiz2(h + huparrow)g = raiz2l(h + tfracv0^22gr)g
– Logo o tempo total é
t2 = tuparrow + tdownarrow' = v0g + raiz2l(h + tfracv0^22gr)g
Nem precisa resolver exatamente: fica claro que t2>t1, porque a bola que sobe dá uma “esticada” antes de cair.
Logo, a bola lançada para baixo chega primeiro.

Passo 4

c) Deslocamento vetorial
O deslocamento em cada caso é sempre do ponto de lançamento (topo) até o ponto de chegada (chão). Em módulo e direção, é só
De
para as duas.
As duas têm o mesmo deslocamento.

Passo 5

d) Distância percorrida
– A bola lançada para baixo desce direto h, então percorre distância d1 = h.
– A bola lançada para cima primeiro sobe huparrow = v0^2/(2g), depois desce h + huparrow, totalizando
d2 = huparrow + (h + huparrow) = h + 2,v0^22g = h + v0^2g
Como tfracv0^2g>0, fica claro
a bola lançada para cima percorre mais distância.

Resposta

a) Mesma velocidade em módulo: v = raizv0^2 + 2gh.
b) A que foi lançada para baixo chega primeiro.
c) Mesma deslocamento (vetorial) de -h.
d) A lançada para cima percorre mais distância: h + tfracv0^2g > h.

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