Uma bola rola do alto de uma escadaria, com velocidade horizontal igual a 15 m / s. Os degraus têm 20,3 cm de altura e o mesmo de largura. Em que degrau a bola tocará primeiro?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo.
– Matéria: movimento de projétil (cinemática) aplicado a uma escadaria.
– Sabemos que a bola sai do topo com velocidade puramente horizontal de ,m/s.
– Cada degrau tem altura ,cm e profundidade (piso) ,cm, ou seja, m.
– Precisamos descobrir em que degrau (número inteiro) a bola bate primeiro.
Para isso vamos modelar a trajetória da bola e comparar com o “mapa” da escada, que é uma série de patamares descontínuos.

Passo 2

Trajetória da bola:
– Como não há componente vertical inicial, em x(t)=v0,t, a bola percorre
y(t)=-tfrac12,g,t^2(ori>=m no topo da escada,,y<0 pra baixo)
– A queda é livre, então
t=xv0 Longrightarrow y(x)=-g2,v0^2,x^2,
Eliminando y=-l(k-1r),h, xinl[(k-1)d, k,dr] :
yl(xnr)=-l(n-1r),h em xninl[(n-1)d, n,dr]
Contorno da escada (altura do topo do -ésimo degrau):
– Cada topo de degrau é uma plataforma horizontal de largura , na altura
A bola bate no primeiro degrau se, ao atingir esse patamar, sua trajetória tiver exatamente
Vamos achar por um raciocínio de “autoconsistência”.

Passo 3

Definimos
B = 2,v0^2,hg,d^2
e mostramos (detalhes da álgebra podem ser feitos linha a linha) que o primeiro degrau atingido é
n = 1 + lfloor Brfloor
Plugando os números:
B = 2,(15)^2,(0,203)9,8,(0,203)^2 = 2cdot225cdot0,2039,8cdot0,203^2 = 91,359,8cdot0,203 = 91,351,9894 approx226,2
Então
n = 1 + lfloor226,2rfloor = 1 + 226 = 227

Resposta

A bola tocará pela primeira vez o 227.º degrau.

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