Uma bola rola do alto de uma escadaria, com velocidade horizontal igual a
. Os degraus têm
de altura e o mesmo de largura. Em que degrau a bola tocará primeiro?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo.
– Matéria: movimento de projétil (cinemática) aplicado a uma escadaria.
– Sabemos que a bola sai do topo com velocidade puramente horizontal de ,m/s.
– Cada degrau tem altura ,cm e profundidade (piso)
,cm, ou seja,
m.
– Precisamos descobrir em que degrau (número inteiro) a bola bate primeiro.
– Matéria: movimento de projétil (cinemática) aplicado a uma escadaria.
– Sabemos que a bola sai do topo com velocidade puramente horizontal de
– Cada degrau tem altura
– Precisamos descobrir em que degrau (número inteiro) a bola bate primeiro.
Para isso vamos modelar a trajetória da bola e comparar com o “mapa” da escada, que é uma série de patamares descontínuos.
Passo 2
Trajetória da bola:
– Como não há componente vertical inicial, em a bola percorre
– Como não há componente vertical inicial, em
– A queda é livre, então
Eliminando
:
Contorno da escada (altura do topo do
-ésimo degrau):
– Cada topo de degrau é uma plataforma horizontal de largura , na altura
– Cada topo de degrau é uma plataforma horizontal de largura
A bola bate no primeiro degrau
se, ao atingir esse patamar, sua trajetória tiver exatamente
Vamos achar
por um raciocínio de “autoconsistência”.
Passo 3
Definimos
e mostramos (detalhes da álgebra podem ser feitos linha a linha) que o primeiro degrau atingido é
Plugando os números:
Então
Resposta
A bola tocará pela primeira vez o 227.º degrau.