Uma bola rola para fora, horizontalmente, do topo de uma escadaria com uma velocidade de 4,2 m / s. Os degraus têm 32 cm de altura, e 32 cm de largura. Em qual degrau a bola bate primeiro? Adote g=9.8 m / s^2 em seus cálculos.
Resposta: square

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola que sai rolando horizontalmente do topo de uma escadaria com uma velocidade inicial de 4,2 , m/s. Cada degrau da escadaria tem uma altura de 32 , cm e uma largura de 32 , cm. Nosso objetivo é descobrir em qual degrau a bola vai bater primeiro. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento uniformemente acelerado e cinemática.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema internacional (SI) para facilitar os cálculos. Sabemos que:
  • Altura de cada degrau, h = 32 , cm = 0,32 , m
  • Largura de cada degrau, w = 32 , cm = 0,32 , m
  • Velocidade inicial da bola, v0 = 4,2 , m/s
  • Aceleração da gravidade, g = 9,8 , m/s^2

Passo 3

Vamos analisar o movimento da bola. Ela tem um movimento horizontal com velocidade constante, pois não há aceleração nesse sentido. Então, a posição horizontal da bola em função do tempo é:
x(t) = v0 cdot t
Já no movimento vertical, a bola está em queda livre, então a posição vertical em função do tempo é:
y(t) = 12 g t^2

Passo 4

Para descobrir em qual degrau a bola bate, precisamos encontrar o ponto em que a bola está alinhada com um degrau tanto na horizontal quanto na vertical. Ou seja, queremos encontrar o degrau n tal que:
x(t) = n cdot w
y(t) = n cdot h

Passo 5

Vamos igualar as duas expressões para y(t):
n cdot h = 12 g t^2
t^2 = 2 n hg
t = raiz2 n hg

Passo 6

Agora, substituímos esse valor de t na expressão de x(t):
n cdot w = v0 cdot raiz2 n hg

Passo 7

Vamos isolar a raiz para resolver para n:
raizn = v0w cdot raiz2 hg
raizn = 4,20,32 cdot raiz2 cdot 0,329,8

Passo 8

Calculando os valores dentro da raiz:
raizn = 13,125 cdot raiz0,649,8
raizn = 13,125 cdot raiz0,06531
raizn = 13,125 cdot 0,2555
raizn approx 3,356

Passo 9

Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar n:
n = (3,356)^2
n approx 11,26

Passo 10

Como não podemos ter uma fração de degrau, arredondamos para o inteiro mais próximo. Portanto, a bola bate no 12º degrau.

Resposta

A bola bate primeiro no 12º degrau.

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