Uma corda vibrando que tem uma densidade de massa linear uniforme exibe um padrão de onda estacionária com uma única volta com uma frequência de 800 Hz . (b) Alternativamente, se a tensão original na corda for aumentada por um fator de 4, determine a nova frequência fundamental.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas em cordas! O enunciado nos diz que uma corda com densidade de massa linear uniforme está vibrando e formando um padrão de onda estacionária com uma única volta, ou seja, estamos lidando com a frequência fundamental dessa corda, que é 800 Hz. A matéria que vamos precisar aqui envolve ondas estacionárias, frequência fundamental, tensão na corda e densidade de massa linear. Vamos usar a fórmula da frequência fundamental para ondas em cordas e ver como a tensão afeta essa frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da frequência fundamental para uma corda fixa em ambas as extremidades. A frequência fundamental $ f_1 $ é dada por:
Aqui:
- $ L $ é o comprimento da corda,
- $ T $ é a tensão na corda,
- $ \mu $ é a densidade de massa linear (massa por unidade de comprimento).
Como no enunciado temos uma única volta, estamos considerando o modo fundamental, então essa fórmula se aplica perfeitamente.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a nova frequência fundamental quando a tensão $ T $ é aumentada por um fator de 4. Vamos chamar a tensão original de $ T $ e a nova tensão de $ T’ $:
Vamos substituir $ T’ $ na fórmula da frequência fundamental:
Passo 4
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a nova frequência fundamental fica:
Passo 5
Comparando com a frequência fundamental original $ f_1 $:
Podemos ver que:
Isso significa que a nova frequência fundamental é o dobro da frequência original quando a tensão é quadruplicada.
Resposta
A nova frequência fundamental é de 1600 Hz.