Uma bola sólida e uniforme rola sem deslizar a partir do repouso de uma altura
até sair por uma seção horizontal na altura
, a bola tem massa
e raio
. (a) Calcule a velocidade com a qual a bola sai pela seção horizontal na altura
. (b) Calcule a velocidade angular da bola no momento em que sai pela seção horizontal na altura
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma bola sólida e uniforme que rola sem deslizar desde uma altura de
até sair por uma seção horizontal a uma altura menor,
. A bola tem massa
e raio
(que a gente converte pra metros, ficando
). A gente vai resolver duas coisas:
(a) A velocidade com que a bola sai na altura
.
(b) A velocidade angular da bola nesse mesmo ponto.
Vamos precisar usar conceitos de energia potencial e energia cinética (tanto translacional quanto rotacional), além da condição de rolagem sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia inicial da bola lá no topo, quando está em repouso na altura
. A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde:
-
é a massa, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura inicial.
Como a bola está em repouso, a energia cinética inicial é zero.
Passo 3
Agora, na altura
, a bola já rolou e perdeu um pouco de altura. A energia potencial agora é:
Além disso, a bola tem energia cinética translacional (
) e energia cinética rotacional (
). Para uma rotação sem deslizar, a velocidade angular (
) e a velocidade linear (
) estão relacionadas por:
E a energia cinética total é:
Para uma bola sólida, o momento de inércia (
) é:
Passo 4
Vamos aplicar a conservação de energia. A energia inicial é igual à energia final:
Como
, podemos substituir
por
:
Simplificando:
Cancelando
dos dois lados:
Isolando
:
Agora, substituindo os valores:
Calculando:
Então:
Passo 5
Agora vamos para a parte (b), que é encontrar a velocidade angular
da bola quando ela sai na altura
. Lembrando que:
Já temos
e
, então:
Resposta
(a) A velocidade com a qual a bola sai pela seção horizontal na altura
é aproximadamente
.
(b) A velocidade angular da bola nesse momento é aproximadamente
.