Uma bola sólida e uniforme rola sem deslizar a partir do repouso de uma altura H=10 m até sair por uma seção horizontal na altura h=2,75 m, a bola tem massa 1,91 kg e raio 22,9 cm. (a) Calcule a velocidade com a qual a bola sai pela seção horizontal na altura h=2,75 m. (b) Calcule a velocidade angular da bola no momento em que sai pela seção horizontal na altura h=2,75 m (g=9,81 m / s^2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma bola sólida e uniforme que rola sem deslizar desde uma altura de H = 10,m até sair por uma seção horizontal a uma altura menor, h = 2,75,m. A bola tem massa m = 1,91,kg e raio r = 22,9,cm (que a gente converte pra metros, ficando 0,229,m). A gente vai resolver duas coisas:
(a) A velocidade com que a bola sai na altura h = 2,75,m.
(b) A velocidade angular da bola nesse mesmo ponto.
Vamos precisar usar conceitos de energia potencial e energia cinética (tanto translacional quanto rotacional), além da condição de rolagem sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia inicial da bola lá no topo, quando está em repouso na altura H = 10,m. A energia potencial gravitacional é dada por:
Ep = m cdot g cdot H
Onde:
  • m é a massa,
  • g = 9,81,m/s^2 é a aceleração da gravidade,
  • H é a altura inicial.
Como a bola está em repouso, a energia cinética inicial é zero.

Passo 3

Agora, na altura h = 2,75,m, a bola já rolou e perdeu um pouco de altura. A energia potencial agora é:
Ep' = m cdot g cdot h
Além disso, a bola tem energia cinética translacional ( Ek) e energia cinética rotacional ( Er). Para uma rotação sem deslizar, a velocidade angular ( omega) e a velocidade linear ( v) estão relacionadas por:
v = r cdot omega
E a energia cinética total é:
Etotal = Ek + Er = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Para uma bola sólida, o momento de inércia ( I) é:
I = 25 m r^2

Passo 4

Vamos aplicar a conservação de energia. A energia inicial é igual à energia final:
m cdot g cdot H = m cdot g cdot h + 12 m v^2 + 12 cdot 25 m r^2 omega^2
Como v = r cdot omega, podemos substituir omega por v/r:
m cdot g cdot H = m cdot g cdot h + 12 m v^2 + 12 cdot 25 m r^2 (vr)^2
Simplificando:
m cdot g cdot (H - h) = 12 m v^2 + 15 m v^2
m cdot g cdot (H - h) = 710 m v^2
Cancelando m dos dois lados:
g cdot (H - h) = 710 v^2
Isolando v^2:
v^2 = 107 g (H - h)
Agora, substituindo os valores:
v^2 = 107 cdot 9,81,m/s^2 cdot (10,m - 2,75,m)
v^2 = 107 cdot 9,81 cdot 7,25
Calculando:
v^2 approx 107 cdot 9,81 cdot 7,25 approx 107 cdot 71,2725 approx 101,818
Então:
v approx raiz101,818 approx 10,09,m/s

Passo 5

Agora vamos para a parte (b), que é encontrar a velocidade angular omega da bola quando ela sai na altura h = 2,75,m. Lembrando que:
v = r cdot omega
Já temos v approx 10,09,m/s e r = 0,229,m, então:
omega = vr = 10,090,229 approx 43,96,rad/s

Resposta

(a) A velocidade com a qual a bola sai pela seção horizontal na altura h = 2,75,m é aproximadamente 10,09,m/s.
(b) A velocidade angular da bola nesse momento é aproximadamente 43,96,rad/s.

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