Um toroide que possui seção reta de formato retangular é definido pelas seguintes superfícies: os cilindros rho=2 e rho=3 cm, e os planos z=1 e z=2,5 cm. Pelo toroide passa uma densidade superficial de corrente de -50 az A / m na superfície p=3 cm.
Calcule H no ponto P(rho, phi, z) : PC(2,7 cm, pi / 2,2 cm)

Passo 1

Beleza, vamos retomar o enunciado com a nossa “vibe de amigo explicando”. A questão tá em magnetostática e pede pra achar o campo de intensidade de magnetização H num ponto P dentro de um “tubo” cilíndrico (é um toroide de seção retangular em coordenadas cilíndricas) com 2 cm ≤ ρ ≤ 3 cm e 1 cm ≤ z ≤ 2,5 cm. Só tem uma densidade superficial de corrente livre K na parede externa (ρ=3 cm), valendo
K=-50,az;A/m,
O ponto P₍C₎ é ρ=2,7 cm, φ=π/2, z=2 cm (ou seja, tá dentro do intervalo de z e ρ).
Conteúdo: magnetostática, densidade superficial de corrente e Lei de Ampère para H. Vamos precisar usar simetria cilíndrica e a forma integral da Lei de Ampère:
ointC Hcdot dboldsymbolell = Irm livre;enc,

Passo 2

Primeiro, qual é a simetria? A corrente está em z (K∥a_z) numa casca cilíndrica de raio ρ=3 cm e altura de 1 a 2,5 cm, e se estende em φ de 0 a 2π. Num ponto P interno (ρ=2,7 cm, z=2 cm), por simetria a gente espera que H seja tangencial (direção φ), mas pode depender só de ρ. Ou seja, H(ρ)=H₍φ₎(ρ) a_φ.

Passo 3

Agora a Lei de Ampère na forma integral, num círculo de raio ρ=2,7 cm, plano z=2 cm (que está dentro dos planos z=1 e z=2,5):
ointC Hcdot dboldsymbolell = Hvarphi(ρ),(2pi ρ) = Irm livre;enc,
Precisamos ver quanto de corrente livre está passando pelo interior desse loop. A única corrente está na casca ρ=3 cm, mas nosso círculo de Ampère está em ρ=2,7 cm < 3 cm, então nenhum fio ou nenhuma densidade de corrente atravessa o disco limitado por esse círculo.
Logo
Irm livre;enc=0,

Passo 4

Substituindo em Ampère:
$$H_\varphi(2,7,\mathrm{cm});(2\pi\cdot2{,}7\mathrm{cm})=0
\quad\Longrightarrow\quad H_\varphi(2,7,\mathrm{cm})=0,. $$

Resposta

No ponto P₍C₎(ρ=2,7 cm, φ=π/2, z=2 cm), o campo H é nulo:
boxed H = 0;A/m,

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