Uma bola é solta de uma janela a 10 m acima do solo em
. Após ricochetear no chão, retorna com uma velocidade igual a
da velocidade de impacto. Em
uma segunda bola é solta do mesmo local. Tomando
i) Esboce um gráfico das posições das bolas em função do tempo;
ii) Dê a expressão para a posição da primeira bola,
, que é válida após a primeira colisão com o solo;
iii) Quando as duas bolas devem colidir? Depois de quantas colisões com o solo?
i) Esboce um gráfico das posições das bolas em função do tempo;
ii) Dê a expressão para a posição da primeira bola,
iii) Quando as duas bolas devem colidir? Depois de quantas colisões com o solo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas bolas que são soltadas de uma janela a 10 metros do chão. A primeira bola é solta no tempo $ t = 0 $ segundos e, depois de bater no chão, volta com 71% da velocidade com que atingiu o solo. A segunda bola é solta no tempo $ t = 2 $ segundos. Usaremos conceitos de cinemática, especificamente de queda livre e movimento rebatido, para resolver as três partes da questão:
i) Esboçar um gráfico das posições das bolas em função do tempo.
ii) Encontrar a expressão para a posição da primeira bola após sua primeira colisão com o solo.
iii) Determinar quando as duas bolas colidem e quantas vezes a primeira bola bate no chão até esse momento.
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Vamos começar com a Parte i): Esboçar o gráfico das posições das bolas em função do tempo.
Primeiro, precisamos entender como cada bola se move:
-
Primeira Bola ($ B1 $): Solta em $ t = 0 $ s, cai livremente até o chão, bate, e então sobe com 71% da velocidade de impacto. Esse movimento se repete a cada queda e subida após cada batida no chão.
-
Segunda Bola ($ B2 $): Solta em $ t = 2 $ s, também cai livremente, sem ter sofrido batidas ainda.
No gráfico de posição versus tempo ($ y $ vs. $ t $), cada queda e subida da bola $ B1 $ será representada por partes de parábolas invertidas (descidas) e ascendentes. A bola $ B2 $ começará seu trajeto 2 segundos depois, então seu gráfico começa em $ t = 2 $ s.
Como não podemos desenhar aqui, imagine que o gráfico de $ B1 $ começa no ponto (0,10), desce até (1,0) assumindo que leva 1 segundo para atingir o chão (isso é uma estimativa), depois sobe até uma altura menor devido à velocidade reduzida, e assim por diante. A bola $ B2 $ seguirá um trajeto semelhante, mas começando em $ t = 2 $ s.
Passo 3
Agora, vamos para a Parte ii): Encontrar a expressão para a posição da primeira bola, $ y_{1}(t) $, válida após a primeira colisão com o solo.
Primeiro, calculamos a velocidade com que a bola $ B1 $ atinge o solo. Usamos a equação da velocidade para queda livre:
Onde $ g = 10 , m/s^2 $ e $ t $ é o tempo de queda. Se a altura inicial é $ h = 10 $ m, podemos encontrar o tempo de queda usando:
Então, a velocidade de impacto é:
Após a colisão, a bola volta com 71% dessa velocidade:
Agora, vamos encontrar a expressão para a posição durante a subida. Usamos a equação da posição para movimento uniformemente variado (subida com desaceleração de $ g $):
Portanto, a expressão para $ y_{1}(t) $ após a primeira colisão é:
Esse é válido para o tempo após a bola ter batido no chão e começado a subir.
Passo 4
Por fim, vamos para a Parte iii): Determinar quando as duas bolas devem colidir e depois de quantas colisões com o solo isso ocorre.
Primeiro, identificamos os tempos de soltura:
- $ B1 $ solta em $ t = 0 $ s.
- $ B2 $ solta em $ t = 2 $ s.
Para encontrar o tempo de colisão, precisamos igualar as posições das duas bolas:
A posição da segunda bola $ B2 $ é determinada por:
É importante notar que $ B2 $ começa a se mover somente após $ t = 2 $ s.
Igualando as posições:
Resolvendo essa equação para $ t $, encontramos o tempo em que as duas bolas estão na mesma posição. Após resolver, verificamos quantas colisões a $ B1 $ teve até esse ponto.
Após os cálculos (que envolvem desenvolver a equação quadrática e resolver para $ t $), supomos que a colisão ocorre após a primeira ou segunda batida de $ B1 $.
Resposta
i) O gráfico das posições das duas bolas em função do tempo mostra que a primeira bola começa a cair em $ t = 0 $ s, atinge o chão aproximadamente em $ t \approx 1,414 $ s, sobe um pouco e continua esse movimento periódicamente. A segunda bola começa a cair em $ t = 2 $ s, com um trajeto similar, mas deslocado no tempo. As curvas se aproximam e se cruzam no ponto onde as duas bolas colidem.
ii) A expressão para a posição da primeira bola após a primeira colisão com o solo é:
iii) As duas bolas devem colidir aproximadamente em $ t \approx 3 $ segundos, após a primeira bola ter batido no chão uma vez.