Para medir a aceleração da gravidade
joga-se um corpo para o alto e são marcadas duas posições na vertical,
e
. O tempo que o corpo leva para passar por
(cuja altura é menor que a de
) e retornar a este ponto é
e o tempo que o corpo leva para passar por
na subida e na descida é
. Mostre que sendo
a altura entre
e
, temos que
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cinemática que envolve medir a aceleração da gravidade (
). A situação é a seguinte: você lança um corpo para o alto e marca duas posições na vertical,
e
, com
sendo mais baixa que
. Queremos relacionar os tempos que o corpo leva para passar por esses pontos e a altura entre eles (
) para encontrar a fórmula de
. Para isso, vamos usar as equações do Movimento Uniformemente Variado (MUV).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o tempo
. Esse é o tempo que o corpo leva para passar pelo ponto
, subir até o ponto mais alto e retornar até
. Basicamente, é o tempo total de ida e volta no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o tempo
. Esse é o tempo que o corpo leva para passar pelo ponto
na subida e na descida. Ou seja, é o tempo total de duas passagens por
, uma subindo e outra descendo.
Passo 4
Vamos utilizar a equação do MUV para posição vertical:
onde:
-
é o deslocamento, -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração da gravidade, -
é o tempo.
Passo 5
No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do corpo é zero. Usando isso, podemos relacionar
com a velocidade inicial
. Sabemos que o tempo total de subida e descida até
é
, então o tempo de subida até
é
.
Passo 6
Aplicando a equação do movimento no ponto
:
Simplificando:
Passo 7
Para o ponto
, que está a uma altura
acima de
, o tempo total
é similarmente dividido em subida e descida. Aplicando a equação do movimento para o ponto
:
Passo 8
Agora, temos duas equações com as variáveis
e
. Nosso objetivo é eliminar
para encontrar uma expressão apenas em termos de
,
e
.
Passo 9
Resolvendo a equação do passo 6 para
:
Passo 10
Substituindo
na equação do passo 7:
Simplificando:
Passo 11
Isolando os termos com
:
Fatorando
no lado direito:
Passo 12
Simplificando a expressão:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Passo 13
Finalmente, isolando
:
Simplificando mais:
Resposta
Portanto, a aceleração da gravidade é dada por: