Para medir a aceleração da gravidade g joga-se um corpo para o alto e são marcadas duas posições na vertical, A e B. O tempo que o corpo leva para passar por A (cuja altura é menor que a de B) e retornar a este ponto é TA e o tempo que o corpo leva para passar por B na subida e na descida é TB. Mostre que sendo h a altura entre A e B, temos que
g=8 hTA^2-TB^2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cinemática que envolve medir a aceleração da gravidade ( g). A situação é a seguinte: você lança um corpo para o alto e marca duas posições na vertical, A e B, com A sendo mais baixa que B. Queremos relacionar os tempos que o corpo leva para passar por esses pontos e a altura entre eles ( h) para encontrar a fórmula de g. Para isso, vamos usar as equações do Movimento Uniformemente Variado (MUV).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o tempo TA. Esse é o tempo que o corpo leva para passar pelo ponto A, subir até o ponto mais alto e retornar até A. Basicamente, é o tempo total de ida e volta no ponto A.

Passo 3

Agora, vamos analisar o tempo TB. Esse é o tempo que o corpo leva para passar pelo ponto B na subida e na descida. Ou seja, é o tempo total de duas passagens por B, uma subindo e outra descendo.

Passo 4

Vamos utilizar a equação do MUV para posição vertical:
s = v0 t - 12 g t^2
onde:
  • s é o deslocamento,
  • v0 é a velocidade inicial,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • t é o tempo.

Passo 5

No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do corpo é zero. Usando isso, podemos relacionar TA com a velocidade inicial v0. Sabemos que o tempo total de subida e descida até A é TA, então o tempo de subida até A é TA/2.

Passo 6

Aplicando a equação do movimento no ponto A:
h = v0 (TA2) - 12 g (TA2)^2
Simplificando:
h = v0 TA2 - g TA^28

Passo 7

Para o ponto B, que está a uma altura h acima de A, o tempo total TB é similarmente dividido em subida e descida. Aplicando a equação do movimento para o ponto B:
2h = v0 TB - 12 g TB^2

Passo 8

Agora, temos duas equações com as variáveis v0 e g. Nosso objetivo é eliminar v0 para encontrar uma expressão apenas em termos de h, TA e TB.

Passo 9

Resolvendo a equação do passo 6 para v0:
v0 = 2hTA + g TA4

Passo 10

Substituindo v0 na equação do passo 7:
2h = (2hTA + g TA4) TB - 12 g TB^2
Simplificando:
2h = 2h TBTA + g TA TB4 - g TB^22

Passo 11

Isolando os termos com g:
2h - 2h TBTA = g TA TB4 - g TB^22
Fatorando g no lado direito:
2h (1 - TBTA) = g (TA TB4 - TB^22)

Passo 12

Simplificando a expressão:
2h (TA - TBTA) = g (TA TB - 2 TB^24)
Multiplicando ambos os lados por 4:
8h (TA - TBTA) = g (TA TB - 2 TB^2)

Passo 13

Finalmente, isolando g:
g = 8h (TA - TBTA)TA TB - 2 TB^2
Simplificando mais:
g = 8hTA^2 - TB^2

Resposta

Portanto, a aceleração da gravidade é dada por:
g = 8 hTA^2 - TB^2

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