Um carro acelera uniformemente até
. A sua desaceleração máxima é de 0.7 g . Qual o tempo mínimo necessário para que ele ande 8 Km começando e terminando em repouso?
Passo 1
Beleza, vamos desenrolar esse problema juntos! A gente tem um carro que acelera de 0 até 200 km/h em 30 segundos e depois precisa frear até parar usando uma desaceleração máxima de 0,7 g. O desafio é descobrir quanto tempo esse carro precisa para percorrer 8 km, começando e terminando parado. Vamos usar conceitos de cinemática, como aceleração uniforme e movimento retilíneo uniformemente variado.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade final de km/h para m/s para facilitar os cálculos. Sabemos que:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração do carro. Sabemos que a aceleração $ a $ é dada por:
Onde $ \Delta v = 55,56 , m/s - 0 , m/s = 55,56 , m/s $ e $ \Delta t = 30 , s $. Então:
Passo 4
Agora, vamos entender como o carro vai percorrer os 8 km. Ele vai acelerar até 55,56 m/s, manter essa velocidade por um certo tempo e depois desacelerar até parar. Mas para minimizar o tempo total, precisamos que ele acelere até um certo ponto e, em seguida, comece a desacelerar imediatamente sem ter uma fase de velocidade constante. Assim, o movimento será dividido em duas partes: aceleração e desaceleração.
Passo 5
Vamos calcular a distância que o carro percorre durante a aceleração. Usamos a fórmula:
Onde $ v = 55,56 , m/s $ e $ a = 1,852 , m/s^2 $. Então:
Passo 6
Agora, calculamos a distância durante a desaceleração. A desaceleração máxima é $ 0,7g $, onde $ g = 9,81 , m/s^2 $, então:
A distância de desaceleração é:
Passo 7
A distância total percorrida durante aceleração e desaceleração é:
Como queremos que o carro percorra 8 km (8000 m), precisamos que a distância restante seja percorrida em velocidade constante. Então, a distância em velocidade constante é:
Passo 8
Agora, vamos calcular o tempo que o carro fica acelerando. Sabemos que:
Já o tempo de desaceleração:
Por fim, o tempo na velocidade constante é:
Passo 9
Agora, somamos todos os tempos para encontrar o tempo total necessário:
Convertendo para minutos:
Resposta
O tempo mínimo necessário para o carro percorrer 8 km, começando e terminando em repouso, é de aproximadamente 2,72 minutos.