Uma bola A é solta do repouso do alto de um prédio com altura H exatamente quando a bola B é atirada verticalmente para cima. Quando elas colidem, A tem o dobro da velocidade de B. Se a colisão ocorre em uma altura h, qual a razão hH ? Monte gráficos para explicar e justificar a sua solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas bolas num prédio. A bola A é largada do alto, sem velocidade inicial, e a bola B é lançada pra cima exatamente no mesmo momento. Elas se encontram em uma altura h, e quando isso acontece, a velocidade de A é o dobro da velocidade de B. Nosso objetivo é descobrir qual é a razão hH, onde H é a altura total do prédio. Vamos usar conceitos de cinemática, tipo movimento uniformemente variado (MUV), pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o tempo até elas colidirem de t. Para a bola A, que está caindo, a posição dela em função do tempo é dada por:
yA(t) = H - 12 g t^2
E a velocidade dela nesse instante é:
vA(t) = g t
Aqui, g é a aceleração da gravidade, aproximadamente 9,8 , m/s^2.

Passo 3

Agora, para a bola B, que está subindo com uma velocidade inicial v0, a posição dela é:
yB(t) = v0 t - 12 g t^2
E a velocidade de B é:
vB(t) = v0 - g t

Passo 4

No momento da colisão, as duas bolas estão na mesma posição, ou seja:
yA(t) = yB(t)
Então, temos:
H - 12 g t^2 = v0 t - 12 g t^2
Simplificando os termos iguais:
H = v0 t
Assim, a velocidade inicial de B é:
v0 = Ht

Passo 5

Sabemos que na colisão a velocidade de A é o dobro da de B:
vA = 2 vB
Substituindo as expressões das velocidades:
g t = 2 ( Ht - g t )
Distribuindo o 2:
g t = 2 Ht - 2 g t
Somando 2 g t dos dois lados:
3 g t = 2 Ht
Multiplicando ambos os lados por t:
3 g t^2 = 2 H
Resolvendo para t^2:
t^2 = 2 H3 g
E tirando a raiz quadrada:
t = raiz 2 H3 g

Passo 6

Agora, vamos encontrar a altura h onde ocorre a colisão usando a posição da bola A:
h = H - 12 g t^2
Substituindo t^2:
h = H - 12 g ( 2 H3 g )
Simplificando:
h = H - H3 = 2 H3

Resposta

A razão hH é 23.

Exercícios relacionados