Uma bola
é solta do repouso do alto de um prédio com altura
exatamente quando a bola
é atirada verticalmente para cima. Quando elas colidem,
tem o dobro da velocidade de
. Se a colisão ocorre em uma altura
, qual a razão
? Monte gráficos para explicar e justificar a sua solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas bolas num prédio. A bola
é largada do alto, sem velocidade inicial, e a bola
é lançada pra cima exatamente no mesmo momento. Elas se encontram em uma altura
, e quando isso acontece, a velocidade de
é o dobro da velocidade de
. Nosso objetivo é descobrir qual é a razão
, onde
é a altura total do prédio. Vamos usar conceitos de cinemática, tipo movimento uniformemente variado (MUV), pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o tempo até elas colidirem de
. Para a bola
, que está caindo, a posição dela em função do tempo é dada por:
E a velocidade dela nesse instante é:
Aqui,
é a aceleração da gravidade, aproximadamente
.
Passo 3
Agora, para a bola
, que está subindo com uma velocidade inicial
, a posição dela é:
E a velocidade de
é:
Passo 4
No momento da colisão, as duas bolas estão na mesma posição, ou seja:
Então, temos:
Simplificando os termos iguais:
Assim, a velocidade inicial de
é:
Passo 5
Sabemos que na colisão a velocidade de
é o dobro da de
:
Substituindo as expressões das velocidades:
Distribuindo o 2:
Somando
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
E tirando a raiz quadrada:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a altura
onde ocorre a colisão usando a posição da bola
:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
A razão
é
.