Uma bola de tênis de 200 g é jogada com uma velocidade de
. Calcule o comprimento de onda de De Broglie. Qual a velocidade que esta bola deve ter para ter o mesmo comprimento de onda de De Broglie que um elétron de 40 eV de energia?
Passo 1
Dados fornecidos e o que o enunciado pede:\n
- Massa da bola de tênis:
(dado do enunciado).\n - Velocidade da bola:
(dado do enunciado).\n - Energia do elétron:
(dado do enunciado).\n
Perguntas pedidas:\n
- Calcular o comprimento de onda de De Broglie da bola de tênis nas condições dadas.\n
- Determinar a velocidade que a bola deve ter para apresentar o mesmo comprimento de onda de De Broglie que um elétron com
.\n
Passo 2
Fórmula de De Broglie e conceitos usados (aula rápida):\n
- A relação de De Broglie diz que o comprimento de onda associado a uma partícula é\n
\n
onde
é a constante de Planck e
é o momento linear (quantidade de movimento) da partícula.\n
- Para partículas não-relativísticas (velocidades bem menores que a da luz), o momento é dado por\n
\n
onde
é a massa e
a velocidade.\n
- Portanto, para uma partícula não-relativística podemos escrever\n
\n - Valores numéricos que usaremos: constante de Planck
, massa do elétron , e a conversão de energia .\n
Passo 3
Converter as unidades da bola para o SI (para usar as constantes acima):\n
- Massa:
\n - Velocidade:
\n
(Expliquei:, então multiplica-se por .)\n
Passo 4
Calcular o momento da bola na situação dada:\n
- Usando
, temos\n \n
Expliquei: é só multiplicar massa por velocidade. Resultado razoavelmente grande em comparação com escalas atômicas.\n
Passo 5
Calcular o comprimento de onda de De Broglie da bola com esses valores:\n
- Aplicando
:\n \n - Arredondando de forma prática:
\n
Comentário didático: esse número é absurdamente pequeno — muito, muito menor que qualquer escala experimental mensurável para objetos macroscópicos.\n
Passo 6
Agora vamos achar o comprimento de onda de De Broglie de um elétron com
, porque precisamos que a bola tenha esse mesmo
.\n
- Primeiro converter
para joules:\n \n - Para um elétron não-relativístico, o momento pode ser expresso por
. Assim\n \n
(Expliquei: usamos
para energia cinética e isolamos
.)\n
Passo 7
Calcular numericamente
:\n
- Calculemos
:\n \n
- Agora\n
\n - Arredondando:
(aprox. ).\n
(Comentário: esse valor faz sentido — elétrons com dezenas de eV têm comprimentos de onda na faixa de décimos de nanômetro, comparável ao espaçamento interatômico.)\n
Passo 8
Encontrar a velocidade que a bola deve ter para ter
:\n
- Usando
e isolando :\n \n - Substituindo
e :\n \n - Em unidades mais familiares (centímetros por segundo):
, então\n \n
(Comentário didático: essa velocidade é literalmente praticamente zero — impossível de ser alcançada/medida para uma bola macroscópica; é por isso que efeitos quânticos de difração são irrelevantes para objetos do nosso dia a dia.)\n
Passo 9
Resumo interpretativo breve (ânimo!):\n
- A primeira resposta mostra que mesmo com uma velocidade modestíssima (
) a bola tem um comprimento de onda de De Broglie ridiculamente pequeno ( ), muito menor que qualquer escala atômica.\n - A segunda resposta mostra que, para igualar o comprimento de onda de um elétron de
, a bola teria de mover-se a uma velocidade absurdamente pequena ( ), o que explica por que não observamos comportamentos ondulatórios em objetos macroscópicos.\n