Uma bola de tênis de 200 g é jogada com uma velocidade de 3 \times 10^{3} \mathrm{~cm} \mathrm{~s}^{-1}. Calcule o comprimento de onda de De Broglie. Qual a velocidade que esta bola deve ter para ter o mesmo comprimento de onda de De Broglie que um elétron de 40 eV de energia?

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:\n
  • Massa da bola de tênis: m_{\text{bola}} = 200\\ \text{g} (dado do enunciado).\n
  • Velocidade da bola: v_{\text{bola}} = 3\times10^{3}\\ \text{cm}\,\text{s}^{-1} (dado do enunciado).\n
  • Energia do elétron: E_{\text{el}} = 40\\ \text{eV} (dado do enunciado).\n
    Perguntas pedidas:\n
  1. Calcular o comprimento de onda de De Broglie da bola de tênis nas condições dadas.\n
  2. Determinar a velocidade que a bola deve ter para apresentar o mesmo comprimento de onda de De Broglie que um elétron com 40\\ \text{eV}.\n

Passo 2

Fórmula de De Broglie e conceitos usados (aula rápida):\n
  • A relação de De Broglie diz que o comprimento de onda associado a uma partícula é\n \lambda = \frac{h}{p},\n
onde h é a constante de Planck e p é o momento linear (quantidade de movimento) da partícula.\n
  • Para partículas não-relativísticas (velocidades bem menores que a da luz), o momento é dado por\n p = m v,\n
onde m é a massa e v a velocidade.\n
  • Portanto, para uma partícula não-relativística podemos escrever\n \lambda = \frac{h}{m v}.\n
  • Valores numéricos que usaremos: constante de Planck \;h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}, massa do elétron \;m_e = 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \text{kg}, e a conversão de energia 1\\ \text{eV} = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J}.\n

Passo 3

Converter as unidades da bola para o SI (para usar as constantes acima):\n
  • Massa: m_{\text{bola}} = 200\\ \text{g} = 0{,}200\\ \text{kg}.\n
  • Velocidade: v_{\text{bola}} = 3\times10^{3}\\ \text{cm}\,\text{s}^{-1} = 3\times10^{3}\times0{,}01\\ \text{m}\,\text{s}^{-1} = 30\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.\n
    (Expliquei: 1\\ \text{cm}=0{,}01\\ \text{m}, então multiplica-se por 0{,}01.)\n

Passo 4

Calcular o momento da bola na situação dada:\n
  • Usando p = m v, temos\n p_{\text{bola}} = m_{\text{bola}}\,v_{\text{bola}} = 0{,}200\\ \text{kg}\times30\\ \text{m}\,\text{s}^{-1} = 6{,}0\\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}.\n
Expliquei: é só multiplicar massa por velocidade. Resultado razoavelmente grande em comparação com escalas atômicas.\n

Passo 5

Calcular o comprimento de onda de De Broglie da bola com esses valores:\n
  • Aplicando \lambda = \dfrac{h}{p}:\n \lambda_{\text{bola}} = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}}{6{,}0\\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}} = 1{,}104345025\times10^{-34}\\ \text{m}.\n
  • Arredondando de forma prática: \lambda_{\text{bola}} \approx 1{,}10\times10^{-34}\\ \text{m}.\n
    Comentário didático: esse número é absurdamente pequeno — muito, muito menor que qualquer escala experimental mensurável para objetos macroscópicos.\n

Passo 6

Agora vamos achar o comprimento de onda de De Broglie de um elétron com 40\\ \text{eV}, porque precisamos que a bola tenha esse mesmo \lambda.\n
  • Primeiro converter E_{\text{el}} = 40\\ \text{eV} para joules:\n E_{\text{el}} = 40\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J} = 6{,}408706536\times10^{-18}\\ \text{J}.\n
  • Para um elétron não-relativístico, o momento pode ser expresso por p = \sqrt{2 m_e E}. Assim\n \lambda_{\text{el}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_e E}}.\n
(Expliquei: usamos K=\tfrac{1}{2}m v^2 = E para energia cinética e isolamos p=m v=\sqrt{2 m E}.)\n

Passo 7

Calcular numericamente \lambda_{\text{el}}:\n
  • Calculemos \sqrt{2 m_e E}:\n 2 m_e E = 2\times(9{,}10938356\times10^{-31}\\ \text{kg})\times(6{,}408706536\times10^{-18}\\ \text{J}) = 1{,}16786\times10^{-47}\\ (\text{kg}^2\text{m}^2\text{s}^{-2}).\n
\sqrt{2 m_e E} \approx 3{,}417\times10^{-24}\\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}.\n
  • Agora\n \lambda_{\text{el}} = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{3{,}417\times10^{-24}}\\ \text{m} \approx 1{,}9386\times10^{-10}\\ \text{m}.\n
  • Arredondando: \lambda_{\text{el}} \approx 1{,}94\times10^{-10}\\ \text{m} (aprox. 0{,}194\\ \text{nm}).\n
    (Comentário: esse valor faz sentido — elétrons com dezenas de eV têm comprimentos de onda na faixa de décimos de nanômetro, comparável ao espaçamento interatômico.)\n

Passo 8

Encontrar a velocidade que a bola deve ter para ter \lambda_{\text{bola}}=\lambda_{\text{el}}:\n
  • Usando \lambda = \dfrac{h}{m v} e isolando v:\n v = \frac{h}{m\,\lambda}.\n
  • Substituindo m_{\text{bola}} = 0{,}200\\ \text{kg} e \lambda = 1{,}9386\times10^{-10}\\ \text{m}:\n v_{\text{necessária}} = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{0{,}200\times1{,}9386\times10^{-10}}\\ \text{m}\,\text{s}^{-1} \approx 1{,}710\times10^{-23}\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.á\n
  • Em unidades mais familiares (centímetros por segundo): 1\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}=100\\ \text{cm}\,\text{s}^{-1}, então\n v_{\text{necessária}} \approx 1{,}71\times10^{-21}\\ \text{cm}\,\text{s}^{-1}.á\n
(Comentário didático: essa velocidade é literalmente praticamente zero — impossível de ser alcançada/medida para uma bola macroscópica; é por isso que efeitos quânticos de difração são irrelevantes para objetos do nosso dia a dia.)\n

Passo 9

Resumo interpretativo breve (ânimo!):\n
  • A primeira resposta mostra que mesmo com uma velocidade modestíssima ( 30\\ \text{m/s}) a bola tem um comprimento de onda de De Broglie ridiculamente pequeno ( \sim10^{-34}\\ \text{m}), muito menor que qualquer escala atômica.\n
  • A segunda resposta mostra que, para igualar o comprimento de onda de um elétron de 40\\ \text{eV}, a bola teria de mover-se a uma velocidade absurdamente pequena ( \sim10^{-23}\\ \text{m/s}), o que explica por que não observamos comportamentos ondulatórios em objetos macroscópicos.\n

Resposta

\lambda_{\text{bola}} \approx 1{,}10\times10^{-34}\\ \text{m}\n
v_{\text{necessária}} \approx 1{,}71\times10^{-23}\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}á

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