O comprimento de onda limiar para a emissão fotoelétrica no tungstênio é 2300 Å. Qual o comprimento de onda de luz que devemos utilizar para que sejam expelidos elétrons de energia cinética igual a 1,5 \mathrm{eV} ?

Passo 1

O enunciado pede: dado o comprimento de onda limiar do tungstênio \lambda_0 = 2300\\ \text{\AA}, determinar o comprimento de onda da luz que devemos usar para que os fotoelétrons sejam expulsos com energia cinética K = 1{,}5\\ \mathrm{eV}.
Informações fornecidas:
\lambda_0 = 2300\\ \text{\AA},\qquad K = 1{,}5\\ \mathrm{eV}.
Queremos encontrar \lambda tal que fótons com esse comprimento de onda produzam elétrons com energia cinética igual a 1{,}5\\ \mathrm{eV}.

Passo 2

Conceito essencial (explicadinho): na emissão fotoelétrica a energia do fóton é usada para vencer a função trabalho do metal ( \varphi) e o restante vira energia cinética do elétron. A equação de Einstein para o efeito fotoelétrico é
K_{\max} = h\nu - \varphi,
onde K_{\max} é a energia cinética máxima dos elétrons, h é a constante de Planck, \nu é a frequência da luz, e \varphi é a função trabalho (energia mínima para liberar um elétron do metal).
A frequência e o comprimento de onda estão ligados por \nu = c/\lambda. Assim a energia do fóton pode ser escrita como
h\nu = \frac{hc}{\lambda}.

Passo 3

Relação entre função trabalho e comprimento de onda limiar: o comprimento de onda limiar \lambda_0 é o maior comprimento de onda que ainda causa emissão (ou seja, quando K_{\max}=0). Assim
\varphi = \frac{hc}{\lambda_0}.
Para trabalhar com unidades práticas (eV e \text{\AA}) usamos a constante aproximada
hc \approx 12400\\ \mathrm{eV\cdot \AA}.
Obs.: esse valor vem de calcular hc em SI e converter joules para eV e metros para angstroms; é um atalho muito usado e seguro para problemas desse tipo.

Passo 4

Calcular \varphi (em eV) a partir de \lambda_0. Usando \lambda_0 = 2300\\ \text{\AA},
\varphi = \frac{12400}{2300}\\ \mathrm{eV}.
Simplificando a fração \dfrac{12400}{2300}=\dfrac{124}{23}. Fazendo a divisão,
\varphi = \frac{124}{23}\\ \mathrm{eV}\approx 5{,}391304348\\ \mathrm{eV}.
Interpretação: isso significa que um fóton com comprimento de onda 2300\\ \text{\AA} tem exatamente energia suficiente ( \approx 5{,}39\\ \mathrm{eV}) para arrancar um elétron sem deixá‑lo com energia cinética.

Passo 5

Agora aplicamos a equação de Einstein para achar a energia do fóton necessária quando queremos K=1{,}5\\ \mathrm{eV}:
h\nu = \varphi + K = \frac{124}{23} + 1{,}5\\ \mathrm{eV}.
Colocando em fração comum: 1{,}5=\tfrac{3}{2}, então
h\nu = \frac{124}{23}+\frac{3}{2} = \frac{248+69}{46} = \frac{317}{46}\\ \mathrm{eV}.
Portanto a energia do fóton requerida é
E_{\text{fóton}} = \frac{317}{46}\\ \mathrm{eV}\approx 6{,}891304348\\ \mathrm{eV}.ó

Passo 6

Converter essa energia para comprimento de onda usando \lambda = \dfrac{12400}{E_{\text{fóton}}}ó (com E em eV e \lambda em \text{\AA}):
\lambda = \frac{12400}{317/46} = 12400\cdot\frac{46}{317} = \frac{570400}{317}\\ \text{\AA}.
Fazendo a divisão,
\lambda \approx 1799{,}3697\\ \text{\AA}.
Em unidades mais usuais: \lambda \approx 179{,}937\\ \mathrm{nm} (lembre que 1\\ \mathrm{nm}=10\\ \text{\AA}).

Passo 7

Interpretação final e arredondamento: normalmente numa resposta de prova basta dar com três algarismos significativos ou em notação prática. Então podemos dizer \lambda \approx 1{,}80\times 10^{3}\\ \text{\AA} ou \lambda \approx 180\\ \mathrm{nm}. Bom sinal: esse comprimento de onda é menor (energia maior) que o limiar, o que faz sentido porque adicionamos 1{,}5\\ \mathrm{eV} extras para a energia cinética.

Resposta

\lambda \approx 1{,}799\times 10^{3}\\ \text{\AA} \;(\approx 180\\ \mathrm{nm})

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