Uma bola de tênis cai de uma altura de 100 m . Cada vez que ela bate no chão, sobe uma altura de 10/20 da altura da queda anterior. Determine a distância total percorrida pela bola até o repouso.
Passo 1
O enunciado diz que a bola cai de uma altura inicial de
,m e que, a cada quique, ela atinge uma altura igual a
da altura da queda imediatamente anterior. Isso caracteriza uma sequência geométrica de alturas decrescentes e vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita para calcular a distância total percorrida até o repouso.
Passo 2
Vamos chamar de
,m a altura da queda inicial e de
a razão (ou coeficiente de restituição em termos de alturas). Após a primeira queda de
, a bola sobe
, depois cai de novo
, sobe
e assim por diante.
Passo 3
A distância total
é dada pela soma da primeira queda mais duas vezes a soma de todas as subsequentes alturas de subida (porque a cada
ela sobe e depois cai):
mas
. Logo
Passo 4
A série
é geométrica com razão
e soma
Substituindo em
:
Com
e
temos
então
Resposta
A distância total percorrida pela bola até o repouso é de
,m.