Uma bola de tênis cai de uma altura de 100 m . Cada vez que ela bate no chão, sobe uma altura de 10/20 da altura da queda anterior. Determine a distância total percorrida pela bola até o repouso.

Passo 1

O enunciado diz que a bola cai de uma altura inicial de 100,m e que, a cada quique, ela atinge uma altura igual a tfrac1020 da altura da queda imediatamente anterior. Isso caracteriza uma sequência geométrica de alturas decrescentes e vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita para calcular a distância total percorrida até o repouso.

Passo 2

Vamos chamar de h0=100,m a altura da queda inicial e de
r = 1020 = tfrac12
a razão (ou coeficiente de restituição em termos de alturas). Após a primeira queda de h0, a bola sobe h1 = h0,r, depois cai de novo h1, sobe h2 = h1,r = h0,r^2 e assim por diante.

Passo 3

A distância total D é dada pela soma da primeira queda mais duas vezes a soma de todas as subsequentes alturas de subida (porque a cada hk ela sobe e depois cai):
D = h0 ;+; 2sumk=1^infty hk
mas hk = h0,r^k. Logo
D = h0 ;+; 2,h0 sumk=1^infty r^k

Passo 4

A série sumk=1^infty r^k é geométrica com razão lvert rrvert<1 e soma
sumk=1^infty r^k = r1-r
Substituindo em D:
D = h0 + 2,h0r1-r
Com h0=100 e r=tfrac12 temos
r1-r = tfrac121-tfrac12 = 1,
então
D = 100 + 2cdot100cdot1 = 100 + 200 = 300 m

Resposta

A distância total percorrida pela bola até o repouso é de 300,m.

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