CALCULE (d z / d t) PARA CADA UMA DAS SEGUINTES FUNÇÕES E EXPRESSE O RESULTADO EM FUNÇÃO SOMENTE DA VARÍAVEL (t).
(z=f(x, y)=4 x^{2}+3 y^{2}, x=x(t)=\sin t, y=y(t)=\cos t)
(z=f(x, y)=4 x^{2}+3 y^{2}, x=x(t)=\sin t, y=y(t)=\cos t)
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
e as parametrizações
O objetivo é calcular
em função apenas de
, usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Agora substituímos
e
e simplificamos:
Observando que
, podemos também escrever a resposta dessa forma.