CALCULE (d z / d t) PARA CADA UMA DAS SEGUINTES FUNÇÕES E EXPRESSE O RESULTADO EM FUNÇÃO SOMENTE DA VARÍAVEL (t).
(z=f(x, y)=4 x^{2}+3 y^{2}, x=x(t)=\sin t, y=y(t)=\cos t)

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
z = f(x,y) = 4x^2 + 3y^2
e as parametrizações
x = x(t) = sin t, y = y(t) = cos t
O objetivo é calcular dfracdzdt em função apenas de t, usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y) = partialpartial x(4x^2+3y^2) = 8x,
fy(x,y) = partialpartial y(4x^2+3y^2) = 6y

Passo 3

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = ddt(sin t) = cos t,
dydt = ddt(cos t) = -sin t

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
dzdt = fx(x,y),dxdt + fy(x,y),dydt
Substituindo fx, fy, dfracdxdt e dfracdydt:
dzdt = (8x),(cos t) + (6y),(-sin t)

Passo 5

Agora substituímos x = sin t e y = cos t e simplificamos:
dzdt = 8(sin t)cos t - 6(cos t)sin t = (8 - 6)sin tcos t = 2sin tcos t
Observando que 2sin tcos t = sin(2t), podemos também escrever a resposta dessa forma.

Resposta

dzdt = 2sin tcos t = sin(2t)

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