Esboce o gráfico das funções a seguir.
n(x)=|cos (2 x)-1|;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
n(x) = l|cos(2x) - 1r|
O conteúdo que vamos usar inclui identidade trigonométrica, propriedades de valor absoluto e periodicidade de funções trigonométricas.

Passo 2

Aplicamos a identidade
cos(2x) - 1 = -2sin^2(x)
Isso transforma a expressão dentro do valor absoluto.

Passo 3

Tomando valor absoluto, obtemos
n(x) = l|-2sin^2(x)r| = 2,sin^2(x)

Passo 4

Analisamos agora n(x)=2sin^2(x):
  • Período: como sin^2(x) tem período pi, n(x) também tem período pi.
  • Intervalo de variação: 0 <= 2sin^2(x)<= 2.
  • Zeros: ocorrem quando sin(x)=0, isto é, em x = kpi, kinZ
  • Máximos: ocorrem quando sin^2(x)=1, ou seja, x = pi2 + kpi, nl(tfracpi2+kpir)=2

Passo 5

Para esboçar em um período típico, por exemplo em xin[0,pi], calculamos alguns pontos-chave:
x=0 &implies n(0)=2sin^2(0)=0, x=tfracpi4 &implies nl(tfracpi4r)=2sin^2l(tfracpi4r)=2cdottfrac12=1, x=tfracpi2 &implies nl(tfracpi2r)=2sin^2l(tfracpi2r)=2, x=tfrac3pi4 &implies nl(tfrac3pi4r)=2sin^2l(tfrac3pi4r)=1, x=pi &implies n(pi)=2sin^2(pi)=0
Conectando suavemente esses pontos, obtemos um “arco” com formato de parábola invertida entre 0 e pi.

Passo 6

Como n(x) é periódico de período pi, repetimos esse arco em todos os intervalos de comprimento pi. O gráfico fica então como uma sequência de “arcos” que nascem em zero, sobem até 2 no ponto médio e voltam a zero.

Resposta

O gráfico de n(x)=|cos(2x)-1| é igual ao de 2sin^2(x), de período pi, com zeros em x=kpi e máximos iguais a 2 em x=tfracpi2+kpi.

Exercícios relacionados