CALCULE (d z / d t) PARA CADA UMA DAS SEGUINTES FUNÇÕES E EXPRESSE O RESULTADO EM FUNÇÃO SOMENTE DA VARÍAVEL (t).
b. (z=f(x, y)=\sqrt{x{2}-y{2}}, x=x(t)=e^{2 t}, y=y(t)=e^{-t})

Passo 1

O enunciado nos dá
z = f(x,y) = raizx^2 - y^2, x = x(t) = e^2t, y = y(t) = e^-t,
e pede dfracdzdt em função só de t. Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = 12raizx^2 - y^2cdot 2x = xraizx^2 - y^2, partial fpartial y = 12raizx^2 - y^2cdot(-2y) = -yraizx^2 - y^2

Passo 3

Derivadas de x(t) e y(t):
dxdt = 2e^2t, dydt = -,e^-t

Passo 4

Pela regra da cadeia,
dzdt = partial fpartial x,dxdt + partial fpartial y,dydt

Passo 5

Substituindo as parciais e derivadas de x e y:
dzdt = xraizx^2 - y^2cdot 2e^2t ;+;l(-yraizx^2 - y^2r)cdot(-e^-t) = 2x,e^2t + y,e^-traizx^2 - y^2
Agora inserimos x=e^2t e y=e^-t:
2x,e^2t = 2e^2te^2t = 2e^4t, y,e^-t = e^-te^-t = e^-2t, x^2 - y^2 = e^4t - e^-2t
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dzdt = 2e^4t + e^-2traiz,e^4t - e^-2t,

Resposta

dzdt = 2e^4t + e^-2traize^4t - e^-2t

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