{ }^{\text {1a }} Questão: Considere uma atmosfera planetária composta por um gás de tal maneira que a pressão em cada ponto possa ser expressa pela equação p=\left(p_{0} / \rho_{0}\right) \rho, onde p_{0} e \rho_{0} são, respectivamente, a pressão e a densidade na superfície do planeta em questão. Use a lei de Stevin e mostre que a solução para o perfil de pressão deste planeta (qualquer que seja ele) é uma exponencial (Dica: \int \frac{d x}{x}=\ln x ).

Passo 1

O enunciado pede o perfil de pressão p(z) numa atmosfera em equilíbrio hidrostático, onde vale a lei de Stevin
\frac{dp}{dz}=-\rho\,g
e ainda há a relação linear
p=\frac{p_{0}}{\rho_{0}}\,\rho,
com p_{0} e \rho_{0} dados na superfície. Vamos usar essas duas equações para obter uma equação diferencial em p e integrar.

Passo 2

Da relação p=(p_{0}/\rho_{0})\,\rho isolamos \rho em função de p:
\rho=\frac{\rho_{0}}{p_{0}}\,p.
Substituindo em \tfrac{dp}{dz}=-\rho\,g resulta
\frac{dp}{dz}=-\frac{\rho_{0}}{p_{0}}\,p\,g.

Passo 3

Agora separamos variáveis para integrar. Escrevemos
\frac{1}{p}\,\frac{dp}{dz}=-\frac{\rho_{0}\,g}{p_{0}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{p}=-\frac{\rho_{0}\,g}{p_{0}}\,dz.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Usando \int\!\frac{dp}{p}=\ln p e integrando em z de 0 a z, obtemos
\int_{p_{0}}^{p(z)}\frac{dp'}{p'} \;=\; -\frac{\rho_{0}\,g}{p_{0}}\int_{0}^{z}dz' \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\bigl[p(z)\bigr]-\ln\!\bigl[p_{0}\bigr] =-\frac{\rho_{0}\,g}{p_{0}}\,z.

Passo 5

Isolando p(z) e usando \ln p(z)-\ln p_{0}=\ln\bigl(p(z)/p_{0}\bigr), vem
\ln\!\Bigl(\frac{p(z)}{p_{0}}\Bigr) =-\frac{\rho_{0}\,g}{p_{0}}\,z \quad\Longrightarrow\quad p(z)=p_{0}\,\exp\Bigl(-\frac{\rho_{0}\,g}{p_{0}}\,z\Bigr).

Resposta

p(z)=p_{0}\,\exp\!\Bigl(-\tfrac{\rho_{0}\,g}{p_{0}}\,z\Bigr),
que é de fato uma exponencial em z.

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