Questão: Considere uma atmosfera planetária composta por um gás de tal maneira que a pressão em cada ponto possa ser expressa pela equação
, onde
e
são, respectivamente, a pressão e a densidade na superfície do planeta em questão. Use a lei de Stevin e mostre que a solução para o perfil de pressão deste planeta (qualquer que seja ele) é uma exponencial (Dica:
).
Passo 1
O enunciado pede o perfil de pressão
numa atmosfera em equilíbrio hidrostático, onde vale a lei de Stevin
e ainda há a relação linear
com
e
dados na superfície. Vamos usar essas duas equações para obter uma equação diferencial em
e integrar.
Passo 2
Da relação
isolamos
em função de
:
Substituindo em
resulta
Passo 3
Agora separamos variáveis para integrar. Escrevemos
Passo 4
Integramos ambos os lados. Usando
e integrando em
de
a
, obtemos
Passo 5
Isolando
e usando
, vem
Resposta
que é de fato uma exponencial em
.