Questão: (a) Considere um recipiente com fluido sujeito a uma aceleração vertical a para cima. Mostre que a variação da pressão com a profundidade no fluido é expressa por:
onde
é a profundidade e
a sua densidade (ou massa específica). (b) Encontre a expressão para o caso do balde estar acelerado para baixo.
Passo 1
O enunciado fala de um fluido em equilíbrio relativo num recipiente que sofre aceleração vertical. No caso (a) essa aceleração é para cima, com módulo
. Queremos achar a variação da pressão com a profundidade
. O conteúdo principal é hidrostática em referencial não inercial, usando a força inercial (ou acelerogravidade efetiva).
Passo 2
Considere uma lâmina de fluido de área
e espessura infinitesimal
, orientada horizontalmente, a uma profundidade
medida a partir da superfície livre. Sobre ela atuam:
– A força de pressão em sua face superior, , para baixo.
– A força de pressão em sua face inferior, , para cima.
– O peso aparente do fluido, que no referencial acelerado para cima se escreve como massa vezes aceleração efetiva para baixo, ou seja .
Equilibrando forças (soma de forças em regime estático relativo), tomando para baixo positivo, temos
– A força de pressão em sua face superior,
– A força de pressão em sua face inferior,
– O peso aparente do fluido, que no referencial acelerado para cima se escreve como massa vezes aceleração efetiva para baixo, ou seja
Equilibrando forças (soma de forças
Dividindo por
e rearranjando:
Passo 3
No limite
a diferença torna-se derivada:
Integrando de
(superfície, onde tomamos
em pressão gauge) até profundidade
,
Passo 4
Para o caso (b), acelerando o balde para baixo com módulo
, a aceleração efetiva para baixo diminui, ficando
. Repetindo o mesmo raciocínio, troca-se
por
na derivada, resultando em
Resposta
(a)
(b)
(b)