2^{\mathrm{a}} Questão: (a) Considere um recipiente com fluido sujeito a uma aceleração vertical a para cima. Mostre que a variação da pressão com a profundidade no fluido é expressa por:
p=\rho h(g+a)
onde h é a profundidade e \rho a sua densidade (ou massa específica). (b) Encontre a expressão para o caso do balde estar acelerado para baixo.

Passo 1

O enunciado fala de um fluido em equilíbrio relativo num recipiente que sofre aceleração vertical. No caso (a) essa aceleração é para cima, com módulo a. Queremos achar a variação da pressão com a profundidade h. O conteúdo principal é hidrostática em referencial não inercial, usando a força inercial (ou acelerogravidade efetiva).

Passo 2

Considere uma lâmina de fluido de área A e espessura infinitesimal dh, orientada horizontalmente, a uma profundidade h medida a partir da superfície livre. Sobre ela atuam:
– A força de pressão em sua face superior, p(h)\,A, para baixo.
– A força de pressão em sua face inferior, p(h+dh)\,A, para cima.
– O peso aparente do fluido, que no referencial acelerado para cima se escreve como massa vezes aceleração efetiva para baixo, ou seja \rho\,A\,dh\,(g+a).
Equilibrando forças (soma de forças =0 em regime estático relativo), tomando para baixo positivo, temos
p(h)\,A \;-\; p(h+dh)\,A \;+\;\rho\,A\,dh\,(g+a)\;=\;0.
Dividindo por A e rearranjando:
p(h+dh)-p(h)=\rho\,(g+a)\,dh.

Passo 3

No limite dh\to0 a diferença torna-se derivada:
\frac{dp}{dh}=\rho\,(g+a).
Integrando de h=0 (superfície, onde tomamos p=0 em pressão gauge) até profundidade h,
p(h)=\int_{0}^{h}\rho\,(g+a)\,dh' =\rho\,(g+a)\,h.

Passo 4

Para o caso (b), acelerando o balde para baixo com módulo a, a aceleração efetiva para baixo diminui, ficando g-a. Repetindo o mesmo raciocínio, troca-se g+a por g-a na derivada, resultando em
\frac{dp}{dh}=\rho\,(g-a) \quad\Longrightarrow\quad p(h)=\rho\,(g-a)\,h.

Resposta

(a) \displaystyle p=\rho\,h\,(g+a)
(b) \displaystyle p=\rho\,h\,(g-a)

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